В курсе школьной арифметики все математические операции проводятся с вещественными числами. Множество этих чисел (или непрерывное упорядоченное поле) имеет ряд свойств (аксиом): коммутативность и ассоциативность умножения и сложения, существование нуля, единицы, противоположного и обратного элементов. Также аксиомы порядка и непрерывности, применяемые для сравнительного анализа, позволяют определить все свойства вещественных чисел.
Поскольку деление является операцией, обратной умножению, при делении на ноль вещественных чисел неизбежно возникновение двух неразрешимых проблем. Во-первых, проверка результата деления на ноль при помощи умножения не имеет числового выражения. Каким бы числом не было частное, если его умножить на ноль, делимое получить невозможно. Во-вторых, в примере 0:0 ответом может служить абсолютно любое число, которое при перемножении с делителем всегда обращается в ноль.
Деление на ноль в высшей математике
Перечисленные трудности деления на ноль привели к наложению табу на эту операцию, по крайней мере, в рамках школьного курса. Однако в высшей математике находят возможности обойти этот запрет.
Например, за счет построения другой алгебраической структуры, отличной от знакомой всем числовой прямой. Примером такой структуры является колесо. Здесь существуют свои законы и правила. В частности, деление не привязано к умножению и превращается из бинарной операции (с двумя аргументами) в унарную (с одним аргументом), обозначается символом /х.
Расширение поля вещественных чисел происходит за счет введения гиперреальных чисел, которое охватывает бесконечно большие и бесконечно малые величины. Такой подход позволяет рассматривать термин «бесконечность» как некое число. Причем это число при расширении числовой прямой теряет свой знак, превращаясь в идеализированную точку, соединяющую два конца этой прямой. Такой подход можно сравнить с линией смены дат, когда при переходе между двумя часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 можно оказаться в следующем дне или же в предыдущем. При этом становится верным утверждение х/0=∞ для любых х≠0.
Чтобы устранить неопределенность 0/0, для колеса вводится новый элемент ⏊=0/0. При этом в данной алгебраической структуре есть свои нюансы: 0·х≠0; х-х≠0 в общем случае. Также х·/х≠1, поскольку деление и умножение больше не считаются обратными операциями. Но данные особенности колеса хорошо объясняются с помощью тождеств дистрибутивного закона, действующего в такой алгебраической структуре несколько иначе. Более подробные разъяснения можно найти в специализированной литературе.
Алгебра, к которой все привыкли, является, по сути, частным случаем более сложных систем, например, того же колеса. Как видим, делить на ноль в высшей математике можно. Для этого требуется выйти за границы привычных представлений о числах, алгебраических операциях и законах, которым они подчиняются. Хотя это вполне естественный процесс, сопровождающий любой поиск новых знаний.
На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.
В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.
Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.
Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки?
Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей.
Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично
а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0. А отсюда: а=b. То есть любое число равно любому числу.
Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения.
Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 . Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?» Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.
А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.
Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.
Деление на ноль в математике — деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано ⁄ 0 , где — это делимое.
В обычной арифметике (с вещественными числами) данное выражение не имеет смысла, так как:
- при ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт, поэтому ни одно число не может быть принято за частное ⁄ 0 ;
- при = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 0 ⁄ 0 .
Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения ⁄ 0 содержится в критике Джорджа Берклиисчисления бесконечно малых.
Логические ошибки
Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения × 0 = × 0, верного вне зависимости от значения и, на 0 получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение = . Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма .
В информатике
В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:
- Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
- В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках:
- генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
- получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄ 0 , где ≠ 0 — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — или, а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.
Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу .
См. также
Примечания
Функция = 1 ⁄ . Когда стремится к нулю справа, стремится к бесконечности; когда стремится к нулю слева, стремится к минус бесконечности
Если на обычном калькуляторе поделить какое-либо число на ноль, то он вам выдаст букву Е или слово Error, то есть «ошибка».
Калькулятор компьютера в аналогичном случае пишет (в Windows XP) : «Деление на нуль запрещено».
Всё согласуется с известным со школы правилом, что на ноль делить нельзя.
Деление — это математическая операция, обратная умножению. Деление определяется через умножение.
Поделить число a (делимое, например 8) на число b (делитель, например число 2) — значит найти такое число x (частное), при умножении которого на делитель b получается делимое a (4 · 2 = 8), то есть a разделить на b значит решить уравнение x · b = a.
Уравнение a: b = x равносильно уравнению x · b = a.
Урок 37 Получить доступ за 75 баллов Деление
Сейчас перейдем к делению, узнаем правила деления для чисел с разными знаками, деления отрицательных чисел, проведем параллели между умножением и делением, а также определим, какой может быть знак результата деления в зависимости от знаков делимого и делителя.
Деление отрицательных чисел
Правило: для того, чтобы разделить одно отрицательное число на другое отрицательное число, необходимо разделить модуль первого числа на модуль второго числа.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Это правило очень похоже на правило для умножения. Откуда такая схожесть мы узнаем чуть позже, а пока посмотрим на примеры.
Пример:
Допустим надо разделить -15 на -5
1) Найдем модули от этих чисел:
2) Посчитаем частное этих двух чисел:
Это и будет ответ.
Пример:
Разделим -132 на -3
1) Находим модули этих чисел:
2) Посчитаем частное модулей:
Это правило работает для нецелых чисел:
1) Считаем модули:
2) Выполняем деление:
И еще несколько примеров уже менее подробно:
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Деление чисел с разными знаками
Допустим, мы знаем, что на заводе 250 работников, получающих одинаковую зарплату, также мы знаем, что вся сумма денег на выплату зарплат изменилась на -100000 рублей.
На сколько изменилась зарплата каждого конкретного работника?
Необходимо разделить общее изменение на количество работников. Иными словами, необходимо разделить отрицательное число на положительное.
Правило: чтобы разделить отрицательное число на число положительное, нужно поделить модуль первого числа на модуль второго числа и к результату деления приписать минус.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Воспользуемся им для решения задачи:
1) Берем модули чисел:
2) Считаем частное:
3) И приписываем к результату минус:
Получаем, что зарплата каждого работника изменилась на -400 рублей, иными словами, уменьшилась на 400 рублей.
Теперь посмотрим, как разделить положительное число на отрицательное.
Правило: чтобы разделить положительное число на число отрицательное, нужно поделить модуль первого числа на модуль второго числа и к результату приписать минус.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Допустим, необходимо разделить 161 на -7:
1) Посчитаем модули:
2) Посчитаем частное:
3) И приписываем к нему минус:
Это и будет ответом.
Заметим, что оба правила достаточно похожи, поэтому можно их обобщить и запомнить общее правило.
Правило: чтобы посчитать частное чисел с разными знаками, необходимо посчитать частное их модулей и приписать к нему минус.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Сведение деления к умножению
Вы уже могли заметить, что правила для умножения и деления весьма похожи. Это вполне закономерно.
Как мы уже говорили в уроке про деление дробей, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю.
И это верно для отрицательных чисел тоже.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Посмотрим, как это происходит на примерах.
1-й способ: воспользоваться правилом для деления отрицательных чисел:
2-й способ: представить деление как умножение на число, обратное делителю, и воспользоваться правилом для умножения отрицательных чисел:
Как вы можете заметить, результаты вычислений разными подходами совпадают. Более того, совпадают даже последние действия, поэтому можете выбирать любой удобный для вас способ.
Такой же подход работает и для деления чисел с разными знаками.
Пример:
1-й способ: воспользуемся правилом для деления чисел с разными знаками:
2-й способ: заменим деление на умножение и воспользуемся правилом для умножения чисел с разными знаками:
Можно заметить, что результаты совпадают.
Так что можно выбирать любой способ для выполнения деления чисел с разными знаками.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определение знака частного
Если мы хотим определить, какой знак будет у частного, не считая его, тогда нам помогут следующие правила:
Правило: частное двух отрицательных чисел всегда число положительное
Пример:
Частное (mathbf) и (mathbf) будет больше нуля.
Правило: частное положительного числа и отрицательного меньше нуля
Пример 1:
Частное 45 и (mathbf) будет меньше нуля.
Пример 2:
Частное (mathbf) и 3-х будет меньше нуля.
Также вне зависимости от знаков делить на 0 нельзя ни положительное, ни отрицательное число.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
И если делимое равно нулю, то и частное будет равняться нулю (если такое деление вообще возможно, то есть если делитель не равен нулю).
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Правило: если делимое равно нулю, а делитель — нет, то частное также равняется нулю.
Разберемся с этими правилами по порядку.
Итак, частное двух отрицательных чисел будет положительно, исходя из того правила, по которому мы его считаем.
Ведь частное двух положительных чисел, очевидно, будет положительным.
А по правилу, частное двух отрицательных чисел равно частному модулей этих чисел, то есть частному положительных чисел.
Также мы помним, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
Деление на ноль. Увлекательная математика
Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль — яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.
История нуля
Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя.
Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.
Математические действия с нулем
Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.
Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).
Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).
Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).
Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.
Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).
Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).
При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.
Парадоксы математики
О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.
Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.
Сложение и умножение
Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10.
Для математиков неизвестная разность — это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.
Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12_4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.
Примеры на деление на 0
Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6_0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.
Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».
Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.
Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление — это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10.
Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?
Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.
Высшая математика
Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:
- бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
- бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
- единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
- бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
- некоторые другие.
Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.
Раскрытие неопределенности
В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:
Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.
При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.
Метод Лопиталя
В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь — французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.
У математиков специфический юмор и некоторые вопросы, связанные с вычислениями, уже давно не воспринимаются серьезно. Не всегда понятно, пытаются тебе на полном серьезе объяснить, почему нельзя делить на ноль или это очередная шутка. А ведь сам вопрос не такой уж очевидный, если в элементарной математике до его решения можно дойти чисто логически, то вот в высшей вполне могут быть другие исходные условия.
Когда появился ноль?
Цифра ноль таит в себе множество загадок:
- В Древнем Риме этого числа не знали, система отсчета начиналась с I.
- За право называться прародителями ноля долгое время спорили арабы и индийцы.
- Исследования культуры Майя показали, что эта древняя цивилизация вполне могла быть первой, в плане употребления ноля.
- Ноль не обладает никаким числовым значением, даже минимальным.
- Он буквально означает ничто, отсутствие предметов для счета.
В первобытном строе не было особой нужды для такой цифры, отсутствие чего-либо можно было объяснить при помощи слов. Но с зарождением цивилизаций повысились и потребности человека, в плане архитектуры и инженерии.
Для осуществления более сложных расчетов и выведения новых функций понадобилось число, которое обозначало бы полное отсутствие чего-либо .
Можно ли делить на ноль?
На этот счет существуют два диаметрально противоположных мнения :
В школе, еще в младших классах учат тому, что на ноль делить нельзя ни в коем случае. Объясняется это предельно просто:
- Представим, что у вас есть 20 долек мандарина.
- Поделив их на 5, вы раздадите пятерым друзьям по 4 дольки.
- Разделить на ноль не получится, ведь самого процесса деления между кем-то не будет.
Конечно же, это образное объяснение, во многом упрощенное и не совсем соответствующее действительности. Но оно предельно доступно поясняет бессмысленность деления чего-либо на ноль.
Ведь, по сути, таким образом можно обозначать факт отсутствия деления. А зачем усложнять математические вычисления и записывать еще и отсутствие деления?
Можно ли ноль делить на число?
С точки зрения прикладной математики, любое деление, в котором принимает участие ноль, имеет не так уж много смысла. Но школьные учебники однозначны в своем мнении:
- Ноль можно делить.
- Для деления следует использовать любое число.
- Нельзя делить ноль на ноль.
Третий пункт может вызвать легкое недоумение, ведь всего несколькими абзацами выше указывалось, что такое деление вполне возможно. На самом деле, все зависит от дисциплины, в рамках которой вы проводите вычисления.
Школьникам в таком случае действительно лучше писать, что выражение невозможно определить , а, следовательно, оно и не имеет смысла. Но в некоторых ответвлениях алгебраической науки допускается запись такого выражения, с делением ноля на ноль. Особенно когда речь идет о вычислительных машинах и языках программирования.
Потребность делить ноль на число может возникнуть во время решения каких-либо равенств и поиска исходных значений. Но в таком случае, в ответе всегда будет ноль . Здесь, как и с умножением, на какое число вы бы не делили ноль, больше ноля в итоге не получите. Поэтому если в огромной формуле заметили это заветное число, постарайтесь быстро «прикинуть», а не сведутся ли все вычисления к очень простому решению.
Если бесконечность делить на ноль
О бесконечно больших и бесконечно малых значениях необходимо было упомянуть чуть раньше, ведь это тоже открывает некоторые лазейки для деления, в том числе и с использованием ноля. Вот правда и тут есть небольшая загвоздка, ведь бесконечно малое значение и полное отсутствие значения — понятия разные .
Но этой небольшой разницей в наших условиях можно пренебречь, в конечном счете, вычисления проходят с использованием абстрактных величин:
- В числители должен быть знак бесконечности.
- В знаменатели символическое изображение стремящегося к нулю значения.
- В ответе выйдет бесконечность, отображающая бесконечно большую функцию.
Следует обратить внимание на то, что речь все же идет о символическом отображении бесконечно малой функции, а не об использовании ноля. С этим знаком ничего не поменялось, на него все так же нельзя делить, только в качестве очень и очень редких исключений.
В большинстве своем ноль используется для решения задач, которые находятся в чисто теоретической плоскости . Возможно, по прошествии десятилетий или даже столетий, всем современным вычислениям найдется практическое применение, и они обеспечат какой-то грандиозный прорыв в науке.
А пока что большинство гениев от математики о всемирном признании лишь мечтают. Исключение из этих правил — наш соотечественник, Перельман . Но его знают благодаря решению действительно эпохальной задачи с доказательством гипотезы Пуанкере и экстравагантному поведению.
Парадоксы и бессмысленность деления на ноль
Деление на ноль, в большинстве своем, не имеет никакого смысла:
- Деление представляют как функцию, обратную умножению .
- Мы можем умножить на ноль любое число и получить в ответе ноль.
- По той же логике, можно было бы делить любое число на ноль.
- В таких условиях несложно было бы прийти к выводу, что любое число, умноженное или деленное на ноль, равно любому другому числу, над которым провели эту операцию.
- Откидываем математическое действие и получаем интереснейшее заключение — любое число равно любому числу.
Помимо создания таких вот казусов, деление на ноль не имеет практического значения , от слова вообще. Даже при возможности выполнения этого действия, не выйдет получить никакой новой информации.
С точки зрения элементарной математики, во время деления на ноль происходит разделение целого предмета ноль раз, то есть ни одного раза. Проще говоря — процесса деления не происходит , следовательно, и результата этого события быть не может.
Находясь в одном обществе с математиком, всегда можно задать пару банальных вопросов, по примеру, почему нельзя делить на ноль и получить интересный и доступный для понимания ответ. Или раздраженность, ведь у человека наверняка это спрашивают не в первый раз. И даже не в десятый. Так что берегите своих друзей-математиков, не заставляйте их повторять по сотне раз одно объяснение.
Видео: делим на ноль
В этом видео математик Анна Ломакова расскажет, что произойдет, если поделить какое-либо число на ноль и почему этого делать нельзя, с точки зрения математики:
Учебник: «Математика» М.И.Моро
Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.
Задачи урока:
- раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
- развивать самостоятельность, внимание, мышление;
- формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.
Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.
Структура урока включала в себя:
- Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
- Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
- Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
- Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
- Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
- Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
- Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.
В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.
Ход урока
| Цель этапа | Содержание этапа | Деятельность ученика |
| 1. Орг. момент | ||
| Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. | Стимулирование на учебную деятельность . Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула. Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично. |
Организация рабочего места, проверка посадки. |
| 2. Мотивация. | ||
| Стимулирование познавательной активности, активизация мыслительного процесса |
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания. Устный счёт. Проверка знания табличного умножения: |
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения. |
| А) найди лишнее число: 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить. |
Нахождение лишнего числа. | |
| Б) вставьте пропущенные числа: … 16 24 32 … 48 … |
Добавление недостающего числа. | |
| Создание проблемной ситуации Задания в парах: В) расставьте примеры в 2 группы: Почему так распределили? (с ответом 4 и 5). |
Классификация примеров по группам. | |
| Карточки: 8·7-6+30:6= 28:(16:4)·6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10·2):5= |
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам. | |
| Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример? Все ли примеры вы смогли решить? У кого возникли затруднения? Чем этот пример отличается от остальных? Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером? |
Нахождение затруднения. Выявление недостающего знания, причины затруднения. |
|
| Постановка учебной задачи. Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число. Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)· Приведите примеры. Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0. Подходят ли эти правила к нашему примеру? Как же он поведёт себя при елении? |
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером. | |
| Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно. Таблица на доске. Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число. |
Выдвижение гипотезы, | |
| Как же найти верное решение? С каким действием связано умножение? (с делением) Приведите пример 2 · 3 = 6 6: 2 = 3 Можем ли мы теперь 0:5? |
||
Приведите свои примеры.
Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.
Статья написана в продолжение тренда:
Disclaimer
Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».
Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии — желательно, но не обязательно.
В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.
Пролог
Выход «за рамки» — это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.
1. Вобще-то уже все поделили до нас!
1.1 Аффинное расширение числовой прямой
Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .
Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.
Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом — основным инструментом математического анализа . Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.
Оригинал
Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева — крутой спуск, справа — крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу?
Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности . Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.
Математическим языком:
Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.
Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.
Подытожим:
В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.
1.2 Колесо
На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.
Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.
Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком «/».
Доопределим операции.
Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.
Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:
Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.
Математическим языком:
С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем . А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).
В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.
Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .
На этот раз результат намного лучше.
Подытожим:
В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено», но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!».
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах Добавить метки
Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал АиФ.ru о делении на ноль:
1. Юрисдикция вопроса
Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?
Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.
2. Разделим, как учили
Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.
Пример 1. 1000: 0 =.
Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.
Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.
3. Нюанс
Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?
Пример 2. 0: 0 = .
Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.
Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех.
А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.
4. Что там про высшую математику?
Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное. А значит. интересное! Дубль два.
Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.
А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:
Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:
Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.
В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:
При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:
Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.
Посмотрим на последовательность частных:
Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:
Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:
При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.
5. И здесь нюанс с двумя нулями
Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:
Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!
6. В жизни
Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:
Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.
А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.
Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!
Источник: harz.ru