17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты. Чтобы не говорить об общем, перейдем непосредственно к разбору типовой задачи.
Разбор типовых вариантов заданий №17 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
[su_note note_color=”#defae6″]
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей.
Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Как посчитать проценты от числа? #shorts
Алгоритм решения:
- Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
- Определяем долг по каждому месяцу.
- Находим величину требующихся процентов.
- Определяем сумму выплат за весь период.
- Вычисляем процент r суммы выплат долга.
- Записываем ответ.
Решение:
1. По условию, долг банку ежемесячно должен уменьшаться в таком порядке:
1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.
2. Пусть k = 1 + r / 100, тогда долг каждый месяц равняется:
k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.
3. Значит, выплаты со 2-го по 14-е ежемесячно составляют:
k – 0.6; 0.6k – 0.4; 0.4k – 0.3; 0.3k – 0.2; 0.2k – 0.1; 0.1k
4. Вся сумма выплат равна: 
По условию, весь размер выплат меньше 1,2 млн руб, следовательно, 
Наибольшим целым решением получившегося неравенства является 7. Тогда оно и есть искомое – 7. Ответ: 7%.
Второй вариант (из Ященко, №1)
[su_note note_color=”#defae6″]
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.
Алгоритм решения задачи:
- Определяем величину денежного долга.
- Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
- Находим величину долга после второго взноса
- Находим искомый процент.
- Записываем ответ.
Решение:
1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в раз. Для выплаты долга необходимо отдать банку 300000∙k.
2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется
3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:
Вносимая сумма равна 240 000 рублей:
4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:
Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:
5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:
Таким образом, брать кредит планируется под 20% .
Источник: spadilo.ru
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0 |
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять более 1,25 млн рублей. (ЕГЭ, 2016)
Источник: www.margolis-ov.ru
Задание 16. Финансовая задача. ЕГЭ 2024 по математике профильного уровня
За это задание ты можешь получить 2 балла. На решение дается около 35 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 15.4%
Ответом к заданию 16 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
В начале года Пётр взял в банке кредит $36$ млн рублей с процентной ставкой $10%$ годовых на $3$ года с погашением кредита по следующей схеме:
— в начале года банк увеличивает долг на $10%$;
— выплаты производятся в конце каждого года;
— каждая следующая выплата на $10%$ больше предыдущей.
Сколько рублей переплатил Пётр банку, погасив свой кредит по указанной схеме за три года?
Решение
Пусть $a = 3.6$ млн.$= 3600$ тыс. рублей и $b_1 , b_2 , b_3$ — выплаты по годам (в тысячах рублей), тогда
$1.1a — b_1 = b$ тыс. рублей — долг после первой выплаты;
$1.1b — b_2 = c$ тыс. рублей — долг после второй выплаты;
$1.1c — b_3 = 0$ тыс. рублей — долг после третьей выплаты;
Проделав обратные преобразования, выразим $a$ через $b_1$, учитывая, что $b_2 = 1.1b_1, b_3 = 1.1^2b_1$ получим:
$a = / + / + / = / + / + / = /$, поэтому $b_1 = /$. Учитывая, что $a = 3600$ тыс. рублей, найдем величину первой выплаты $b_1 = / = 1320$ тыс. рублей. Тогда вторая выплата равна $b_2 = 1.1 · 1320 = 1452$ тыс. рублей, а третья выплата равна $1.1 · 1452 = 1597.2$ тыс. рублей. Сумма всех выплат равна $1320 + 1452 + 1597.2 = 4369.2$ тыс. рублей, значит, Петр переплатил банку $4369.2 — 3600 = 769.2$ тыс. рублей.
Ответ: 769200
Показать решение
Задача 2
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $72000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $122000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + /$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль $2021: S_1 = qS — x$,
июль $2022: S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$.
Если за 2 года кредит не погашен, то далее:
июль $2023: S_3 = qS_2 — x = q^3 S — (q^2 + q + 1)x$,
июль $2024: S_4 = qS_3 — x = q^4 S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4 S — <(q^4 — 1)x>/$.
Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда $q^2 S — (q + 1)x_2 = 0, S = <(q + 1)x_2>/$.
Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда $q^4 S — <(q^4- 1)x_4>/ = 0, S = <(q^4 — 1)x_4>/$.
По условию $x_4 = 72 000, x_2 = 122 000$. Значит $q^2 = / = /, q = / = 1.2, r = 20$.
Ответ: 20
Показать решение
Задача 3
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $50000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $82000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + / $ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль 2021: $S_1 = qS — x$,
июль 2022: $S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$,
июль 2023: $S_3 = qS_2 — x = q^3S — (q^2 + q + 1)x$,
июль 2024: $S_4 = qS_3 — x = q^4S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4S — <(q^4 — 1)x>/ $. Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда
$q^2S — (q + 1)x_2 = 0$, $S = <(q + 1)x_2>/ $. Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда
$q^4S — <(q^4 — 1)x_4>/ = 0$, $S = <(q^4 — 1)x_4>/ $. Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим
$ <(q + 1)x_2>/ = <(q^4 — 1)x_4>/ $, $q^2 = / $. По условию $x_4 = 50000$, $x_2 = 82000$. Значит,
$q^2 = / = / $, $q = / = 125$, $r = 25 %$.
Ответ: 25
Показать решение
Задача 4
Вклад в размере $5$ млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на $20 %$ по сравнению с его значением в начале года. Кроме того, в середине первого и второго годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $P$ млн руб., где $P$ — целое число. Найдите наименьшее значение $P$, при котором банк за $4$ года начислит на вклад больше $8$ млн рублей.
Решение
При увеличении вклада на $20%$ он увеличивается в $ / =12$
раза. После первого начисления процентов вклад стал равен ($12⋅ 5+P$) млн руб. После второго начисления процентов вклад стал равен $((12⋅ 5+P)⋅ 12+P)$ млн руб. Вкладчик положил на вклад ($5+2P$) млн руб., и по условию сумма на вкладе в конце четвёртого года больше вложенного более чем на $8$ млн руб. Запишем неравенство. $((12⋅ 5+P)⋅ 12+P)⋅ 12^2>5+2P+8$. $(72+22P)⋅ 144>13+2P$, $1168P>2632$, $P> / $, $P>2 / $. Наименьшее целое $P$ равно $3$.
Ответ: 3
Показать решение
Задача 5
Клиент планирует взять в банке льготный кредит на целое число миллионов рублей сроком на $5$ лет. В середине каждого года действия кредита долг клиента возрастает на $20%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов клиент выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов клиент выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат клиента превысит $20$ млн рублей.
Решение
Пусть $S$ млн руб. — сумма кредита. Так как в конце 1-го, 2-го и 3-го годов клиент выплачивает по $0.2S$, то за три года он выплатит $0.2S · 3 = 0.6S$.
Рассмотрим погашение кредита за 4-й и 5-й годы. В середине четвёртого года долг возрастёт до $1.2S$. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце четвёртого года долг равен $1.2S — x$, а в середине 5-го года долг равен $1.2(1.2S — x)$. В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1.2(1.2S — x)$ и по условию равна $x$.
Отсюда $1.2(1.2S — x) = x, 2.2x = 1.44S, x = / S=/S$.
Общий размер выплат равен $0.6S+/S + / S = / S$.
По условию $/ S > 20, S > 10/$. Найдём наименьшее целое $S$.
Неравенство выполнимо при $S = 11$. Наименьший размер кредита составляет $11$ млн рублей.
Ответ: 11
Показать решение
Задача 6
В июле $2019$ года планируется взять кредит в банке в размере $N$ млн рублей, где $N$ — натуральное число, сроком на $3$ года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
| Долг (в млн руб.) | $N$ | $06N$ | $04N$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $N$, при котором каждая из выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
Решение
По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20%$, значит, долг в январе каждого года равен
$1.2N; 0.6 · 1.2N; 0.4 · 1.2N$, то есть $1.2N, 0.72N, 0.48N$.
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2N — 0.6N; 0.72N — 0.4N; 0.48N — 0$, то есть $0.6N, 0.32N, 0.48N$.
Представим коэффициенты $0.6; 0.32; 0.48$ в виде несократимых дробей, получим $/, /, /$.
По условию числа $N , /, /, /$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5, 8$ и $25, 12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $N$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.
Наименьшее значение $N$ равно $25$ млн рублей.
Ответ: 25
Показать решение
Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на сумму $2$ млн рублей на $6$ месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | $2$ | $18$ | $16$ | $12$ | $08$ | $04$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять более $25$ млн рублей.
Решение
По условию текущий долг возрастает на $r$ процентов каждый месяц, тогда на 15-е число каждого месяца выплаты процентов за обслуживание кредита составят:
Общая сумма выплат (выплата процентов и суммы, взятой в кредит) равна
$r$ — целое число, значит, наименьшее значение $r=7$.
Источник: egeturbo.ru