Стандартное (среднеквадратическое) отклонение (Standard Deviation) используется для оценки отклонения (разброса) значений от их средней величины. Рассчитывается как корень квадратный из дисперсии и обычно обозначается греческой буквой σ (сигма). В финансовом анализе его считают мерой неопределенности, то есть риска.
Большое значение отклонения показывает больший разброс значений от средней величины и указывает на более высокий риск; меньшее, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения и указывает на меньшую волатильность.
Рассмотрим, как работает стандартное отклонение на примере. Допустим, что средняя годовая доходность некой инвестиции составляет 5%, а годовое стандартное отклонение доходности этой инвестиции равняется 10%.
Это означает, что среднегодовое отклонение от 5% составляет 10%. Иногда оно оказывается большим, иногда — меньшим, но в среднем оно равняется 10%. При «нормальном распределении» годовой доходности во времени вероятность того, что годовая доходность окажется в интервале между -5% и +15%, равняется 68%. Эта концепция представлена на рис. 2.3.
Элементы статистики. Дисперсия. Стандартное отклонение
В случае нормального распределения в пределы одного стандартного отклонения попадают порядка 68% ожидаемых будущих доходов. Это означает, что вероятность того, что фактический результат будет отстоять от ожидаемого значения больше, чем на величину одного отклонения, равняется лишь 32%.
Вероятность того, что фактический результат попадет в пределы двух стандартных отклонений от ожидаемого значения соответствующего распределения, равняется приблизительно 95%, а вероятность того, что он попадет в пределы трех отклонений от ожидаемого значения, составляет больше 99%.
- 1 стандартное отклонение соответствует вероятности 68%.
- 2 стандартных отклонения соответствуют вероятности 95%.
- 3 стандартных отклонения соответствуют вероятности 99,5%.
Среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности различных классов активов не является статичной величиной. Бывают времена, когда доходность одних классов активов оказывается более волатильной, чем доходность других.
Из книги Ричарда Ферри “Все о распределении активов”.
Источник: mindspace.ru
Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения
Пусть измеряемая имеет известное значение величина X. Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x1,x2,…xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X. Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i-го измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое
,которое рассчитывают по формуле:
Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме. Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например,
для n=3
Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4
Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность определения:
Выборочное стандартное отклонение sзависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ
Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n>
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t-распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:
Разности между средним
выборки и средним значением генеральной совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального распределения и связанного с ним t-распределения определяются следующим выражением:
является доверительным интервалом среднего значения
. Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.
Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)
Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа
= 0,679 .
Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата
По табл. 1 (приложение) находят для f = n-1= 9 коэффициент Стьюдента (Р = 0,95) t = 2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения.
По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.
Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % — й доверительной вероятности.
Решение. Коэффициент Стьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что
— ширина доверит. интервала для среднего значения
— ширина доверит. интервала для единичного измерения значения
Источник: himikatus.ru
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Числовые характеристики дискретной случайной величины $X$, которые обычно требуется находить в учебных задачах по теории вероятностей, это математическое ожидание $M(X)$, дисперсия $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$.
Подробные формулы и примеры расчета вы найдете по ссылкам в предыдущем абзаце, в этом же разделе вы сможете автоматически и бесплатно рассчитать эти значения с помощью онлайн-калькулятора, который даст не только ответ, но и продемонстрирует процесс вычисления.
Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей
Калькулятор: числовые характеристики случайной величины
- Введите число значений случайной величины К.
- Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -1.5 или 10.558). Введите нужные значения (убедитесь, что сумма вероятностей равна единице, то есть закон распределения задан верно).
- Нажмите на кнопку «Вычислить».
- Калькулятор покажет процесс вычисления математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и СКО $sigma(X)$.
- Нужны еще расчеты? Вводите новые числа и нажимайте на кнопку.
Видео. Полезные ссылки
Видеоролики об СКО
На закуску для продвинутых — какие формулы вычисления СКО для выборок бывают и для чего подходят.
Понравилось? Добавьте в закладки
Полезные ссылки
- Калькуляторы по теории вероятнстей
- Онлайн учебник по ТВ
- Примеры решений по теории вероятностей
- Контрольные по теории вероятностей на заказ
Источник: www.matburo.ru