Комбинации существуют во многих формах, и понимание того, как рассчитать вероятность комбинации, может быть полезным математическим навыком в различных математических и научных профессиях. Вы можете сгенерировать комбинацию случайным образом или задать ее намеренно. Однако навыки расчета вероятности определенного исхода остаются одинаковыми в обоих случаях и могут быть полезными профессиональными инструментами.
В этой статье мы обсудим определение комбинации в математике, ее отличие от перестановки и способы расчета комбинаций в различных формах, которые может принимать комбинация.
Что такое комбинация в математике?
Комбинация — это набор элементов, созданный при определенном наборе условий и ограничений. Комбинация может состоять полностью из уникальных элементов или включать повторяющиеся элементы, и комбинация может требовать, чтобы эти элементы располагались в определенном порядке или просто присутствовали все нужные элементы.
В математике понимание параметров комбинации позволяет рассчитать различное количество возможных комбинаций, отвечающих этим требованиям, и, как следствие, вероятность наступления определенного результата.
как … подсчитать количество комбинаций заданного числа элементов в Excel
Комбинация против. перестановка
Комбинации и перестановки — схожие понятия. Однако у перестановки есть дополнительные правила, которые делают ее подмножеством комбинаций. Перестановка — это тип комбинации, в которой важно не только наличие правильных элементов, но и их правильный порядок.
Например, при случайном выборе пяти шариков из мешочка с шариками и определении того, сколько различных комбинаций цветов вы можете вытянуть, не имеет значения, в каком порядке вы их вытянете, что делает комбинацию базовой.
При попытке открыть замок с тремя цифрами важно не только иметь правильные цифры, но и расположить их в правильном порядке. Замок — это комбинация, но это также и перестановка, которая увеличивает общее количество конфигураций и повышает сложность.
Как рассчитать вероятность комбинации
Существует несколько типов комбинаторных задач, и каждая из них требует уникального набора вычислений. Понимание того, как определить тип проблемы комбинации и правильную формулу для решения этой проблемы, является важным навыком для расчета вероятностей. Ниже приведены шаги, которые помогут вам рассчитать вероятность комбинации:
1. Поймите математические обозначения комбинаций
Хотя различные вероятностные задачи на комбинации требуют различных математических формул, они содержат одни и те же ключевые понятия и переменные. Важные термины и обозначения, которые необходимо понять:
- Факториальная нотация: Факториальная нотация — это когда вы пишете восклицательный знак непосредственно рядом с числом. Это математический символ, который представляет собой значение, получаемое при последовательном умножении числа на каждое целое число, меньшее его до единицы. Например, 3! это эквивалент записи 3 x 2 x 1.
- Треугольник Паскаля: Использование треугольника Паскаля может помочь вам быстро найти некоторые решения комбинаций. Треугольник Паскаля — это массив чисел, начинающийся с единицы в верхнем ряду и заполняющий каждый последующий ряд сначала двумя числами, затем тремя и так далее, чтобы создать форму треугольника. Каждое число в треугольнике равно сумме числа над ним и слева и числа над ним и справа.
- Переменная n: Переменная n представляет собой количество вариантов для каждого выбора в комбинации. Например, замок с тремя цифрами, каждая из которых может быть от 0 до 9, имеет значение n, равное 10, поскольку для каждого места в комбинации существует 10 возможных цифр.
- Переменная r: Переменная r представляет собой количество раз, когда вы делаете выбор из потенциальных элементов. Для приведенной в примере комбинации r будет равно трем, потому что в перестановке замка есть три цифры.
2. Определите свой стиль комбинирования
Для того чтобы применить правильную формулу при расчете комбинации, важно определить тип выполняемого расчета. Первый ключевой момент заключается в том, вычисляете ли вы перестановку или комбинацию. Затем вы можете определить, может ли одно и то же значение повторяться во время комбинации. Это создает четыре типа вычислений, по одному для каждой потенциальной пары: комбинация или перестановка и повторение или отсутствие повторения.
9 класс, 26 урок, Комбинаторные задачи
3. Выберите соответствующую формулу
После определения типа комбинации, для которой вы проводите расчеты, важно использовать правильную формулу, чтобы найти вероятность конкретного результата. Уравнения вероятности четырех комбинаций таковы:
- Перестановка с повторением: Общее количество перестановок = n^r
- Перестановка без повторений: Общее количество перестановок для выбора = n! (n — r)!
- Комбинация с повторением: Общее количество комбинаций = n! (r! x (n — r)!)
- Комбинация без учета повторения: Всего комбинаций = (r + n — 1)! (r! x (n — 1)!)
4. Входные переменные и расчет
Комбинируя правильную формулу с вашими значениями для количества вариантов и количества выборов, вы можете рассчитать общее количество комбинаций или перестановок. Подставьте числа вместо переменных в вашу формулу и вычислите результат.
Чтобы преобразовать количество комбинаций или перестановок в вероятность получения определенного результата, разделите единицу на результат вашего расчета. Вы также можете преобразовать вероятность в процент, умножив ее на 100.
Примеры расчета комбинаций
Хотя для расчета вероятности различных стилей комбинаций вам понадобятся только формулы, полезно понимать математическую логику, лежащую в основе их создания. Эти примеры показывают, почему каждая формула имеет свою уникальную структуру и как использовать каждую из них для выполнения вычислений:
Пример перестановки с повторением
Определение количества перестановок для комбинации, допускающей повторения, является самым простым из вычислений различных комбинаций. Умножьте количество вариантов для каждого элемента в перестановке на мощность числа элементов.
Например, в сейфе используется вращающийся циферблат со 100 возможными цифрами на нем. Для того чтобы открыть сейф, необходимо правильно перебрать три числа в правильном порядке. Есть 100 вариантов для каждого элемента, и три элемента, поэтому вы умножаете 100 на себя три раза. Существует 1 миллион перестановок сейфа.
Всего перестановок = 100^3 = 1,000,000
Пример перестановки без повторений
Чтобы вычислить количество вариантов для этой перестановки, вы сначала находите значение факториала общего количества вариантов для каждого элемента, а затем факториал количества вариантов минус количество выбранных элементов. Разделив первый результат на второй, вы получите общее количество перестановок.
Например, у ребенка есть мешок с пятью шариками в нем, и он наугад вытаскивает три из них. Вам интересно определить, сколько существует вариантов перестановок, которые ребенок может вытянуть наугад.
Сначала вы находите факториал пяти, который равен 120. Далее, поскольку ребенок вытягивает три шарика, что на два меньше, чем пять, вы находите факториал двух, который равен двум. Разделив 120 на 2, вы определите, что существует 60 возможных перестановок при розыгрыше трех шариков.
Общее количество перестановок = 5! (5 — 3)! = 5! 2! = 120 2 = 60
Пример комбинации без повторения
В то время как предыдущая формула рассматривает вытягивание тех же трех шариков в разном порядке как разные результаты, в комбинации они одинаковы. Деление на факториал количества сделанных выборов позволяет удалить дубликаты и найти правильный результат.
В примере с мрамором, поскольку каждая комбинация из трех шариков может произойти в одной из шести перестановок, вы делите 60 на 6, чтобы узнать, что существует 10 комбинаций без повторений.
Вы также можете решить вопрос о количестве комбинаций без повторений, используя треугольник Паскаля. Рассматривая верхнюю строку треугольника как нулевую строку, отсчитайте до строки, соответствующей количеству вариантов для каждого элемента, затем отсчитайте по этой строке, равной количеству вариантов, чтобы найти результат.
Общее количество комбинаций = 5! (3! x (5 — 3)!) = 5! (3! x 2!) = 120 (6 x 2) = 120 12 = 10
Пример комбинации с повторением
Для вычисления комбинации с повторением можно заменить факториал числа вариантов на факториал суммы числа вариантов и общего числа выборов минус один.
Затем замените факториал числа вариантов минус один на факториал числа вариантов минус число выборов. Полученная формула позволяет получить количество потенциальных комбинаций с учетом повторений.
Например, если ребенок кладет вытащенный шарик обратно в мешок после каждого вытаскивания, вы можете использовать эту формулу для расчета общего количества потенциальных комбинаций при вытаскивании трех шариков из мешка. Формула показывает ответ 35 комбинаций с повторениями при вытаскивании шариков из мешочка.
Всего комбинаций = (3 + 5 — 1)! (3! x (5 — 1)!) = 7! (3! x 4!) = 5,040 (6 x 24) = 5,040 144 = 35
Ключевые слова:
- indeed.com
Источник: hr-portal.ru
Подсчитать количество комбинаций
Как посчитать количество комбинаций строки состоящей из 10 символов, где используются только латинские буквы в нижнем регистре и цифры. Очень бы хотелось узнать формулу.
Отслеживать
13.6k 12 12 золотых знаков 43 43 серебряных знака 73 73 бронзовых знака
задан 13 ноя 2017 в 12:18
277 1 1 золотой знак 3 3 серебряных знака 12 12 бронзовых знаков
по формуле, как еще то. в засимости от того могут ли быть повторы.
13 ноя 2017 в 12:19
только уникальные значения
13 ноя 2017 в 12:20
4 ответа 4
Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию
Всего символов — 36.
Если повторы могут быть — на первое место сколькими способами можно выбрать символ? 36. Для каждого первого сколькими можно выбрать второй? 36. Итого — 36*36.
Для каждых первых двух. — ну, и так далее.
Для алфавита из N символов и длины строки m —
Если повторов быть не может — то на второе место — уже только 35 (один уже выбран), на третье — 34 (выбраны уже два). И так далее. Итого — 36*35*34*33*32*31*30*29*28*27 = 36!/26!.
Для алфавита из N символов и длины строки m — число размещений
Отслеживать
ответ дан 13 ноя 2017 в 12:23
217k 15 15 золотых знаков 117 117 серебряных знаков 229 229 бронзовых знаков
общую формулу то хоть написали бы тогда
13 ноя 2017 в 12:24
13 ноя 2017 в 12:28
Могут быть использованы две формулы.
Если символы могут повторяться, то любой из 10-ти символов может принимать одно 36 значений (26 латинских букв плюс 10 цифр). Можно сказать, что это 10-тизначное число в 36-ричной системе счисления. Количество комбинаций будет равно 36 10 или 3,6561584×10 15 .
Если символы не могут повторяться, то мы имеем дело с размещениями. Есть ещё сочетания, но в данном случае они не подходят, потому что размещения 123abc и abc123 будут разными, а вот сочетание это будет одно и то же.
Количество размещений из n по k считается по формуле A k n = n!/(n — k)!, то есть в вашем случае это будет 36!/26! или 9,2239326×10 14
Источник: ru.stackoverflow.com