Первоочередной задачей статистической обработки опытных данных является систематизация полученных результатов. Допустим, что в результате исследований для дискретных случайных величин X и У экспериментально определены соответствующие пары значений (х,,)>,). Тогда результаты первичных наблюдений случайных величин X и У с объемом выборки п [равно числу пар (х„у/)] удобно записать в виде табл. 8.1.
Таблица 8.1. Результаты наблюдений случайных величин^ и У
Пусть в результате экспериментов величина X в выборке принимает значения xi, хг, хз,. , х*, а величина У — у, у2, уз, ,yi, где ки I- количество различающихся между собой значений X и У соответственно, причем в общем случае каждые из них в выборке могут повторяться.
Если число наблюдений над случайными величинами X и У велико, то их удобно предварительно сгруппировать и представить в виде табл. 8.2, которую называют корреляционной. Корреляционную таблицу можно рассматривать как статистическое распределение выборки при исследовании двумерного признака объектов генеральной совокупности.
Математика #1 | Корреляция и регрессия
В первой строке и столбце таблицы в порядке возрастания перечисляются все встречающиеся в выборке значения величин X и Yсоответственно. На пересечении соответствующих строк и столбцов указываются частоты mlf (i = 1,2,3. #; j = 1,2,3. /), равные количеству появлений пары в выборке. Для иллюстрации частота т2 представляет собой количество появлений в выборке пары (х1уу2). Пустые клетки означают, что соответствующие им частоты равны нулю.
В последней строке таблицы указываются числа тх , равные количеству появлений в выборке значений xh а в последнем столбце -числа mv значенийyj.
Очевидно, что объем выборки
» аблица 8.2. Корреляционная таблица
На основании табл. 8.2 для каждого значения д:„ где / = 1,2,3. можно записать индивидуальный закон эмпирического распределения случайной величины Y (табл. 8.3).
Таблица 8.3. Эмпирическое распределение случайной величины Y
Используя данные этой таблицы, можно определить условное среднее значение ух случайной величины Y, соответствующее значению Х=х,:
Зависимость условного среднего значения ух случайной величины У от величины X, т.е. эмпирическую корреляционную зависимость Уд, удобно представлять в форме табл. 8.4. В первой строке этой таблицы перечислены все встречающиеся в выборке значения величины X, а во второй — вычисленные на основании формулы (8.4) условные средние значения ух величины У.
Таблица 8.4. Эмпирическая корреляционная зависимость
Если при большом объеме выборки содержится немалое число различных значений х, и у, то имеет смысл представить результаты наблюдений случайных величин X и У в виде интервальной корреляционной таблицы (табл. 8.5).
Таблица 8.5. Интервальная корреляционная таблица
Здесь тч — количество появления пары (ад) в выборке, для которых значение х попадает в интервал [x;-i,x/], значение у — в интервал [y,-i,y)]. Количество интервалов, их длина, а также граничные значения хо.уо и хад определяются так же, как и для статистического интервального ряда распределения случайных величин.
Excel для полных чайников Урок 16 Линия тренда
Для дальнейших вычислений информацию, представленную в виде интервальной корреляционной табл.8.5, можно преобразовать в обычную корреляционную табл. 8.6, взяв в качестве значений признаков X и Y середины интервалов.
Таблица 8.6. Корреляционная таблица
Здесь х’ = (х, + х,_,) / 2, у. = (у, + у )/2 — центры соответствующих интервалов. В дальнейшем для единообразия корреляционной таблицы удобно от х’,у* перейти к новым переменным
Хп уJ, ПОЛОЖИВ X, = Хп УJ — уJ.
Для наглядности данные корреляционной таблицы изображают в виде так называемого корреляционного поля. Корреляционное поле — это нанесенное в прямоугольной системе координат (рис. 8.1) множество всех п экспериментальных точек с координатами (xij/i). На корреляционном поле строят ломанную линию, соединяющую точки с координатами (х,,ух). Эта линия
называется выборочной ломаной линией регрессии Y на X
(рис. 8.1, г). Если эта линия — прямая (рис. 8.1, а и в), то корреляционная связь между признаками X и Y называется линейной, а если нет (рис.8.1, б) — нелинейной. Если с увеличением X значение ух возрастает, то корреляционная связь называется
прямой (рис. 8.1, а), а если уменьшается — обратной (рис. 8.1, в).
Может случиться, что в данной точке содержится не одна (рис. 8.1, г), а несколько пар точек с координатами (х,у,), извлеченным из корреляционной таблицы. В этом случае эти точки следует немного отделить друг от друга так, чтобы они образовали компактную группу из т,, пар, окружающих данную точку (х,у).
Точки вокруг линии регрессии символизируют разброс возможных значений у, величины У вокруг линии регрессии. Линия регрессии У на X демонстрирует, как в среднем меняется случайная величина У при изменении случайной величины X. По характеру поведения выборочной линии регрессии можно визуально оценить наличие корреляционной эмпирической зависимости по всем статистическим совокупностям X и У.
Рис. 8.1. Корреляционное поле
Пример 8.1. Изучалась зависимость между массой новорожденных павиан-гамадрилов X (в кг) и массой их матерей У (в кг). Результаты наблюдений приведены в табл. 8.7 в виде двумерной выборки.
Таблица 8.7, Массы новорожденных павиан и их матерей
Источник: studme.org
Построение поля корреляции
Первой основной задачей, которую решает теория корреляции, является задача измерения связи. Систематизация статистического материала по двум качественным признакам производится графическим путем построения поля корреляции. Итоговая сумма частот по горизонтальным линиям поля корреляции должна соответствовать абсолютным частотам дискретного ряда распределения функционального признака, а итоговая сумма частот по вертикальным линиям поля корреляции — абсолютным частотам дискретного ряда распределения факторного признака. Общая сумма абсолютных частот (точек) по всем вертикальным линиям поля корреляции и соответствовать числу единиц статистической совокупности, принятой для исследования.
Построение корреляционной таблицы
Для построения корреляционной таблицы на поле корреляции накладывается координатная сетка, соответствующая интервальным рядам распределения по факториальному и функциональному признакам. Затем подсчитываем число точек (частот) в каждой клетке координатной сетки. Результаты подсчетов по горизонтали и вертикали записываются в таблицу «Корреляционная таблица для зависимости у от х».
Корреляционная таблица для зависимости у от х
Объемы СМР, тыс. руб.
Среднегодовая стоимость основных фондов тыс. руб.
Источник: studentopedia.ru
Корреляционные поля и их использование в предварительном анализе корреляционной связи
Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном увеличиваются (уменьшаются) значения другого, то такая корреляционная связь называется прямой или положительной.
Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном уменьшаются (увеличиваются) значения другого, то такая корреляционная связь называется обратной или отрицательной.
Корреляционные поля и их использование в предварительном анализе корреляционной связи
При постановке вопроса о корреляционной зависимости между двумя статистическими признаками Х и У проводят эксперимент с параллельной регистрацией их значений.
Пример —
Будем называть корреляционным полем зону разброса таким образом полученных точек на графике. Визуально анализируя корреляционное поле на рисунке 8, можно заметить, что оно как бы вытянуто вдоль какой-либо прямой линии. Такая картина характерна для так называемой линейной корреляционной взаимосвязи между признаками. При этом можно в общем предположить, что с увеличением конечной скорости разбега увеличивается и длина прыжка, и наоборот. Т.е. между рассматриваемыми признаками наблюдается прямая (положительная) взаимосвязь.
Наряду с этим примером из множества других возможных корреляционных полей можно выделить следующие (рис.9-11):
На рисунке 9 тоже просматривается линейная взаимосвязь, но с увеличением значений одного признака, уменьшаются значения другого, и наоборот, т.е. связь обратная или отрицательная. Можно предположить, что на рисунке 11 точки корреляционного поля разбросаны около какой-то кривой линии. В таком случае говорят, что между признаками существует криволинейная корреляционная связь.
В отношении корреляционного поля, изображенного на рисунке 10, нельзя сказать, что точки располагаются вдоль какой-то прямой или кривой линии, оно имеет сферическую форму. В этом случае говорят, что признаки Х и Y не зависят друг от друга.
Кроме этого по корреляционному полю можно примерно судить о тесноте корреляционной связи, если эта связь существует. Здесь говорят: чем меньше точки разбросаны около воображаемой усредненной линии, тем теснее корреляционная связь между рассматриваемыми признаками.
Визуальный анализ корреляционных полей помогает разобраться в сущности корреляционной взаимосвязи, позволяет высказать предположение о наличии, направленности и тесноте связи. Но точно сказать, имеется связь между признаками или нет, линейная связь или криволинейная, тесная связь (достоверная) или слабая (недостоверная), с помощью этого метода нельзя. Наиболее точным методом выявления и оценки линейной взаимосвязи между признаками является метод определения различных корреляционных показателей по статистическим данным.
3. Коэффициенты корреляции и их свойства
Часто для определения достоверности взаимосвязи между двумя признаками(Х, У) используютнепараметрический (ранговый) коэффициент корреляции Спирмена и параметрический коэффициент корреляции Пирсона . Величина этих показателей корреляционной связи определяется по следующим формулам:
где: dx — ранги статистических данных признака х;
dy — ранги статистических данных признака у.
где: — статистические данные признака х,
— статистические данные признака у.
Эти коэффициенты обладают такими мощными признаками:
1. На основании коэффициентов корреляции можно судить только о прямолинейной корреляционной взаимосвязи между признаками. О криволинейной связи с их помощью ничего сказать нельзя.
2. Значения коэффициентов корреляции есть безразмерная величина, которая не может быть меньше -1 и больше +1, т.е.
3.
4. Если значения коэффициентов корреляции равны нулю, т.е. = 0 или = 0, то связь между признаками х, у отсутствует.
5. Если значения коэффициентов корреляции отрицательные, т.е. < 0 или < 0, то связь между признаками Х и Y обратная.
6. Если значения коэффициентов корреляции положительные, т.е. > 0 или y> 0 , то связь между признаками Х и Y прямая (положительная).
7. Если коэффициенты корреляции принимают значения +1 или -1, т.е. = ± 1 или = ± 1, то связь между признаками Х и Y линейная (функциональная).
8. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Эта достоверность еще зависит от числа степеней свободы.
Практическая часть.
Определите коэффициент корреляции между температурой тела и частотой пульса и дайте оценку выявленной взаимосвязи.
| Температура тела |
| Частота пульса |
Источник: megaobuchalka.ru