Имеется множество различных функций распределения. Но в статистике в качестве непрерывного распределения больше всего используется нормальное распределение (normal distribution). Его также называют распределением Гаусса. Говоря нормальное распределение, всегда имеется в виду плотность вероятностей в функции нормального распределения. Его график по своей форме напоминает колокол.
Имеется бесконечное число нормальных распределений, которые отличаются средним значением ($mu$) и показателем вариации ($sigma$). Но все они имеют определенные общие характеристики:
- они симметричны;
- у всех есть единственное более общее значение;
- все простираются от $-infty$ до $+infty$;
- все значения функции находятся под кривой $1$;
- среднее значение, медиана и мода у всех совпадает.
Функция плотности вероятностей в этом распределении имеет следующий вид:
$$f(x)=dfrac> e ^<-dfrac<(x-mu)^2>>$$
Эмпирический метод показывает, что в нормальном распределении все значения распределены следующим образом:
Нормальное Распределение за 6 Минут
- Около $68%$ всех значений находятся на расстоянии стандартного отклонения от среднего значения $[mu-sigma, mu +sigma]$.
- Около $95%$ всех значений находятся на расстоянии 2-х стандартных отклонений от среднего значения $[mu-2sigma, mu +2sigma]$.
- Около $99%$ всех значений находятся на расстоянии 3-х стандартных отклонений от среднего значения $[mu-3sigma, mu +3sigma]$.
Нормальное распределение со средним значением $mu=0$ и среднеквадратичным отклонением $sigma=1$ называется стандартным нормальным распределением (standard normal distribution) или $Z$-распределением. Любое нормальное распределение можно привести в вид стандартного нормального распределения.
Чтобы сравнивать значения в различных единицах измерения, их нужно привести в единое пространство. Поэтому “сырые” значения, в единицах измерения километр, метр или килограмм переводят в $Z$-оценки ($Z$-scores). Эти значения выражаются в единицах стандартного отклонения. Преобразование всех значений в $Z$-оценки эквивалентно преобразованию нормального распределения в стандартное нормальное распределение. Поэтому $Z$-оценки иногда называют нормализованными оценками (normalized scores), а сам процесс нормализацией (normalizing).
Перевод начальных значений в $Z$-оценки осуществляется следующим образом:
$$Z=dfrac$$
Если $mu=100$, $sigma=5$, то для значений $105$, $110$ и $85$ из стандартного распределения $x sim N(100,5)$ (если обозначить распределение в виде $x sim N(mu, sigma)$) эти значения имеют следующий вид:
Так как $68%$ всех значений находятся в промежутке $[95, 105]$, только менее $16%$ значений будут больше $105$. Потому, что $32%$ значений остаются за пределами расстояния $sigma$ от среднего значения по обе стороны, из них менее $16%$ больше, чем значение $105$. А в случае со значением $110$, только $2,5%$ значений генеральной совокупности имеют большее значение. Для $85$, менее $0,5%$ имеют меньшее значение. Значит, значения $110$ и $85$ можно считать “редкими”.
Нормальное распределение в Excel
Преимущество $Z$-оценок в том, что они позволяют сравнивать совокупности с различными средними значениями и стандартным отклонением. Например, мы сразу не сможем сказать, что значение $35$ в совокупности $x sim N(50,10)$ является более “редким”, чем значение $95$ в совокупности $x sim N(100,5)$. Поэтому вычисляем $Z$-оценку для этих значений.
Отсюда видно, что значение $-1,5$ находится дальше от $0$, чем значение $-1$. Так как $0$ является средним значением стандартного нормального распределения, значит, значение $35$ во второй совокупности имеет меньшую вероятность (встречается реже), чем значение $95$ в первой совокупности.
Распределение Стьюдента
Представьте, что имея малое количество элементов выборки нужно сделать определенные выводы относительно генеральной совокупности. Распределение Стьюдента позволяет найти промежуток, где с большой вероятностью находится среднее значение генеральной совокупности, зная среднее значение небольшой выборки.
Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема гласит, что вне зависимости от распределения элементов генеральной совокупности, распределение средних значений выборок стремится к нормальному распределению с увеличением числа элементов этих выборок.
Биномиальное распределение
Биномиальное распределение является одним из видов дисретного распределения, т.е. является распределением вероятностей случайной величины из ограниченного количества значений. Биномиальное распределение применяется к дихотомическим данным.
Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.
Источник: jsoft.ws
CFA — Нормальное распределение вероятностей
Нормальное распределение — это наиболее часто используемое распределение вероятностей в количественной финансовой практике. Оно играет ключевую роль в современной портфельной теории и ряде технологий управления рисками. Рассмотрим эту концепцию в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Поскольку нормальное распределение вероятностей имеет так много применений, профессионалы в области финансов и инвестиций должны тщательно его изучить.
Роль нормального распределения в статистических выводах и регрессионном анализе значительно расширена благодаря центральной предельной теореме. Центральная предельная теорема (англ. ‘central limit theorem’) утверждает, что сумма (и среднее) большого числа независимых случайных величин приблизительно нормально распределена.
Французский математик Абрахам Де Муавр (Abraham de Moivre, 1667-1754) ввел понятие нормального распределения в 1733 году при разработке своей версии центральной предельной теоремы.
Как показано на Рисунке 5, нормальное распределение является симметричным и имеет колоколообразную форму.
Диапазоном возможных исходов нормального распределения является вся вещественная ось: все действительные числа, лежащих между (-infty) и (+infty). Хвосты колоколообразной кривой распространяются без ограничений слева и справа.
Определяющими характеристиками нормального распределения являются:
Нормальное распределение полностью описывается двумя параметрами — ее средним значением, ( mu ), и дисперсией, ( sigma^2 ). Обозначим это как ( X sim N (mu, sigma^2) ) (читается «X имеет нормальное распределение со средним (p) и дисперсией (sigma^2)» ).
Нормальное распределение данных
Нормальное распределение представляет собой теоретическую гладкую гистограмму в форме колокола без случайных отклонений. Такая кривая представляет идеальный набор данных, в котором большинство чисел сконцентрировано в средней части диапазона значений, а оставшиеся значения с затуханием симметрично расположены по обе стороны от вершины колокола. Такая степень гладкости не присуща реальным данным. На рис. 1 приведена кривая нормального распределения.
Фактически существует много различных кривых нормального распределения, форма которых напоминает симметричный колокол. Они отличаются расположением центра и масштабом (шириной колокола). Чтобы построить конкретную кривую нормального распределения следует взять базовую кривую в форме колокола, переместить ее по горизонтали в точку, где предполагается разместить центр, а затем растянуть (или сжать). На рис: 2 приведено несколько кривых нормального распределения.
Почему нормальное распределение играет такую важную роль в статистике? Обычно в статистике предполагают, что распределение данных приблизительно соответствует нормальному. Специалисты статистики знают свойства нормального распределения и используют их всякий раз, когда гистограмма похожа на кривую нормального распределения.
Если непрерывная случайная величина имеет плотность распределения
f (x) = ,
то она подчиняется закону нормального распределения. Для построения кривой нормального распределения надо знать два параметра: среднее значение 
и стандартное квадратическое отклонение 
.
Если средняя арифметическая не меняется, но растет величина среднего квадратического отклонения, распределение имеет более плосковершинный характер (рис. 2)
На рис. 3 приведено «семейство» кривых нормального распределения с одной и той же величиной среднего квадратического отклонения, но разными средними ( 
< 
< 
). В этом случае кривая, не меняя своей формы, сдвигается вправо вдоль оси абсцисс.
Укажем особенности кривой нормального распределения:
1. Кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению x = Mo = Me = , ее величина равна 
2. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значения отклоняются от , тем реже они встречаются. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной x от равновероятны.
3. Кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии 
от .
4. При = const с увеличением 
кривая становится более пологой. При = const с изменением кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс.
5. В промежутке ± находится 68,3% всех значений признака. В промежутке 
2 находится 95,4% всех значений признака. В промежутке 3 находится 99,7% всех значений признака.
Нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случайных причин. Действие этих причин независимо, и ни одна из причин не имеет преобладающего влияния над другими.
В каком случае можно сказать, что набор данных подчиняется нормальному распределению? Хороший способ заключается в том, чтобы внимательно изучить гистограмму. На рис. 3.3.3 представлены гистограммы для различных выборок объемом 100 значений каждая из нормально распределенного набора данных. Этот рисунок демонстрирует, насколько случайной может быть форма распределения при ограниченном размере выборки.
Уменьшение количества данных приводит к увеличению случайности, поскольку не достаточно информации для представления полной картины распределения.
Действительно ли в реальной жизни все наборы данных подчиняются нормальному распределению? Конечно, нет. Используя гистограмму, важно определить, являются ли данные нормально распределенными. Это особенно важно, если дальнейший анализ предполагает использование стандартных статистических процедур, которые требуют нормального распределения данных. В следующем разделе мы рассмотрим один вид отличия экономических данных от нормального распределения и предложим способ справиться с этой проблемой.
Несимметричное (скошенное) распределение не является ни симметричным, ни нормальным, поскольку значения данных на одной стороне кривой затухают быстрее, чем на другой.
В бизнесе часто можно встретить асимметрию в наборах данных, которые отражают величины, выраженные положительными числами (например, объёмы продаж или размеры активов). Это связано с тем, что такие данные не могут принимать отрицательные значения (наличие границы с одной стороны) и значения не ограничены сверху. В результате на гистограмме много значений данных сконцентрировано около нуля, и количество значений становится все меньше и меньше при движении по горизонтальной оси гистограммы вправо.
Проблема с асимметрией
Одна из проблем, связанных с асимметрией данных, состоит в том, что многие из наиболее распространенных статистических методов (о которых вы узнаете в следующих главах) требуют, чтобы данные были, по крайней мере, приблизительно нормально распределенными. Если эти методы применяют к несимметричным данным, то полученный результат может быть неточным или просто неверным. И даже если результаты получаются в основном корректными, будет определенная потеря эффективности анализа, поскольку не обеспечивается наилучшее использование всей информации, содержащейся в наборе данных.
Источник: poisk-ru.ru