Т.В. Чернова
Экономическая статистика
Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999
Глава 7. Индексы
7.1. Индивидуальные индексы и их применение в экономическом анализе
Индекс – это относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени (тогда говорят об индексах динамики), в пространстве (территориальные индексы), в выборе в качестве базы сравнения какого-либо условного уровня, например планового показателя, уровня договорных обязательств и т.п. Соответственно вводят индекс выполнения обязательств или, если плановый уровень сравнивается с уровнем предыдущего периода, – индекс планового задания.
В экономическом анализе индексы используются не только для сопоставления уровней изучаемого явления, но главным образом для определения экономической значимости причин, объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней.
Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если исследователь не интересуется структурой изучаемого явления и количественную оценку уровня в данных условиях сравнивает с такой же конкретной величиной уровня этого явления в других условиях.
Так, уровень товарооборота в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного года Q1 сравнивается с аналогичной суммой выручки базисного года Q0. В итоге получаем индивидуальный индекс товарооборота
Аналогичные индивидуальные индексы можно рассчитать и для любого интересующего нас показателя. В частности, поскольку сумма выручки определяется ценой товара (р) и количеством продаж в натуральном измерении (q), можно определить индивидуальные индексы цены ip и количества проданных товаров – iq :
С аналитической точки зрения iq показывает, во сколько раз увеличилась (или уменьшилась) общая сумма выручки под влиянием изменения объема продажи в натуральных единицах.
Аналогично ip показывает, во сколько раз изменилась общая сумма выручки под влиянием изменения цены товара. Очевидно, что
Вторая формула представляет двухфакторную индексную мультипликативную модель итогового показателя, в данном случае – объема товарооборота. Посредством такой модели находят прирост итога под влиянием каждого фактора в отдельности.
Так, если выручка от продажи некоторого товара возросла с 8 млн. руб. в предыдущем периоде до 12,180 млн. руб. в последующем и известно, что это объясняется увеличением количества проданного товара на 5 % при цене на 45 % большей, чем в предыдущем периоде, то можно записать следующее соотношение:
12,180 = 8 × 1,05 × 1,45 (млн. руб.).
Очевидно, что общий прирост выручки в сумме 12,180-8 = 4,180 млн. руб. объясняется изменением объема продажи и цены. Прирост выручки за счет изменения объема продажи (в натуральном выражении) составит
или в нашем примере
Тогда за счет изменения цены данного товара сумма выручки изменилась на
Очевидно, что общий прирост товарооборота складывается из приростов, объясняемых каждым фактором в отдельности, т.е.
Можно заметить, что существует и другой способ распределения общего прироста по факторам в двухфакторной индексной мультипликативной модели, а именно:
В нашем примере общий прирост выручки (4,18 млн. руб.) объясняется теперь:
изменением объема продажи
Выбор конкретной формы разложения общего прироста итога должен определяться конкретными условиями развития изучаемого показателя, в данном случае – конъюнктурой спроса-предложения. В экономической практике и большинстве научных рекомендаций в настоящее время преобладает первое направление, когда сначала выясняют вклад в общий прирост количественного фактора при базисном уровне качественного признака (цен), а затем – вклад качественного фактора (цены) в расчете на отчетный уровень количественного показателя (объема – q).
7.2. Общие индексы и их применение в анализе
Если известно, что изучаемое явление неоднородно и сравнение уровней можно провести только после приведения их к общей мере, экономический анализ выполняют посредством так называемых общих индексов. Индекс становится общим, когда в расчетной формуле показывается неоднородность изучаемой совокупности. Примером неоднородной совокупности является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Тогда сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений взвешивающего показателя на объемный), например:
Отношение агрегатов, построенных для разных условий, дает общий индекс показателя в агрегатной форме. Так, например, получают индекс общего объема товарооборота в агрегатной форме:
При анализе прироста общего объема товарооборота этот прирост также объясняется изменением уровня цен и количества проданных товаров.
Влияние на прирост товарооборота общего изменения цен выражается агрегатным индексом цен Ip, который в предположении первичности изменения количественного показателя (q) и вторичности – качественного (р) имеет вид
Влияние на прирост товарооборота изменения количества проданных товаров отражается агрегатным индексом физического объема Iq , который строится также в предположении первичности изменения количественных показателей (q) и вторичности влияния качественных (р):
В форме мультипликативной индексной модели динамика товарооборота будет выражаться соотношениями
Если принимается предположение об очередности влияния факторов – сначала q, а затем р, то общий прирост товарооборота будет распределяться по факторам следующим образом:
Если же принимается предположение об обратной последовательности влияния факторов – сначала р, затем q, то меняются и формулы разложения прироста и формулы расчета индексов Iq и Ip . Тогда
Примером мультипликативной индексной модели с большим числом факторов является изменение общей суммы материальных затрат на производство продукции. Сумма затрат зависит от количества выпущенной продукции (индекс Iq), удельных расходов (норм) материала на единицу продукции (индекс In) и цены на материалы (индекс Ip). Прирост общей суммы затрат распределяется следующим образом:
где а величины индексов таковы:
индекс увеличения суммы затрат в связи с изменением объемов производства продукции (индекс физического объема)
индекс изменения суммы затрат за счет изменения удельных расходов материала (индекс удельных расходов)
индекс изменения общей суммы затрат, объясняемого изменением цен на материалы (индекс цен на материалы)
Приведем формулы расчета некоторых наиболее употребительных агрегатных индексов.
Индекс изменения общей суммы затрат на производство продукции в зависимости от объема производства (q) и затрат на единицу (z):
Индекс изменения общего фонда оплаты труда в связи с изменением общей численности работающих (Т) и заработной платы (f):
Индекс изменения объема продукции в связи с изменением численности работающих (Т) и уровня их выработки (w):
Индекс изменения объема продукции в связи с изменением объема основных производственных фондов (Ф) и показателя эффективности их использования – фондоотдачи (Н):
Аналогичным образом находят общие агрегатные индексы и по многим другим экономическим показателям. Нетрудно заметить, что используемые в приведенных формулах индексы Iq, IТ, Iф получаются по методу индекса физического объема, а индексы Iz, If, IW, IH – по методу индекса цен. Таким образом, рассмотренная выше методика распределения общего прироста товарооборота полностью приложима к анализу прироста продукции, изменения общих затрат на производство, изменения общего фонда оплаты труда и т.д.
7.3. Индексы при анализе структурных изменений
Индексы, которые рассчитываются по типу индексов физического объема, применимы при изучении совокупностей, состоящих как из разных объектов, так и из объектов одного и того же типа. Если совокупность неоднородна (например, совокупность товаров различного вида), то индекс физического объема – единственный способ показать динамику такой массы различных предметов, выражая ее через взвешивающий множитель (цену, себестоимость, трудоемкость). Если же совокупность состоит из объектов одного типа, то динамику этой массы можно показать непосредственно, сравнивая общее количество таких предметов в отчетном периоде с аналогичной величиной в базисном.
Таким образом, для однородных совокупностей (допускающих суммирование по количественному признаку) индекс физического объема есть произведение индекса суммарной численности совокупности на индекс изменения структуры. Формула индекса структурных изменений может быть такова:
где d0 – удельные веса, например доли предприятий в общей численности работающих в базисном периоде, a d1 – удельные веса или доли каждого предприятия в общей численности работающих в отчетном периоде:
Знаменатель в формуле индекса структурных изменений есть не что иное. как средний уровень (выработки по группе предприятий) в базисном периоде, так как
Экономическая сущность индекса структурных изменений состоит в том, что он показывает, во сколько раз изменился общий средний уровень только за счет изменения удельного веса каждого объекта в общем объеме количественного признака. В той же мере индекс структурных изменений показывает влияние процессов перераспределения на общий прирост итогового показателя.
В итоге в форме мультипликативной индексной модели можно записать:
Общий прирост продукции состоит, следовательно, из трех частей:
1) прирост за счет изменения общей численности работающих
2) прирост за счет перераспределения работающих
3) прирост за счет изменения уровня производительности труда на предприятиях
Вклад разных факторов в общий прирост можно распределить по отдельным объектам, для каждого из которых применяют мультипликативную индексную модель
где q0, q1, – объемы итогового признака (продукции) по данному объекту (предприятию);
I sum T – общий для всей совокупности индекс количественного признака (индекс числа работающих);
iW – индивидуальный для данного объекта индекс изменения уровня качественного признака (индивидуальный индекс производительности труда для данного предприятия);
id – индивидуальный индекс доли данного объекта в общем объеме количественного признака (индивидуальный индекс доли данного предприятия в общей численности работающих).
Индивидуальный индекс доли можно определить и по первичным данным, сопоставляя удельные веса за отчетный и базисный периоды, и более простым способом. Действительно,
В условиях численного примера окончательное распределение общего прироста продукции по факторам и предприятиям может выглядеть следующим образом:
| Предприятие | Общий прирост продукции, тыс. руб. |
В том числе за счет | ||
| изменения числа работающих |
изменения удельного веса в общей численности |
изменения производительности труда |
||
| 1 2 |
445,0 -10,8 |
78,08 91,77 |
64,92 -270,57 |
302,0 168,0 |
| Итого | 434,2 | 169,85 | -205,65 | 470,0 |
Источник: www.aup.ru
Методы расчета индексов цен
Общие подходы для расчета индексов цен предполагают использование как простых агрегатных индексов, так и индексов с использованием взвешивания цен по тому или иному показателю.
Традиционно используются пять основных типов простых агрегатных индексов, рассчитываемые на основе различных типов средних величин:
- 1) средней арифметической из абсолютных цен;
- 2) средней арифметической из относительных цен;
- 3) средней гармонической из относительных цен;
- 4) средней геометрической из относительных цен;
- 5) медианы из относительных цен.
Первый из указанных индексов цен рассчитывается как отношение среднеарифметической, найденной исходя из цен по сопоставимому кругу товаров в текущий момент времени, к среднеарифметической по ценам тех же товаров в базисный момент времени. Иными словами, упрощая формулу, это отношение суммы цен по сопоставимому кругу товаров в текущий момент времени к сумме цен по этим же товарам в базисный момент времени:
где / — значение индекса;
Р, — цена в текущий момент времени;
Р0 — цена в базисный момент времени;
п — количество товаров, цены по которым входят в расчет индекса.
Индекс на основе средней арифметической относительных цен рассчитывается на базе следующего соотношения:
Индекс, базой которого является средняя гармоническая из относительных цен, определяется следующим образом:
Средняя геометрическая из относительных цен служит основой следующего индекса:
Наконец, можно рассчитать медиану относительных цен, которая также будет выступать в роли индекса.
В таблице 3.1 приведены условные исходные данные, на базе которых будут рассчитаны все перечисленные выше типы средних.
Исходные данные для расчета индексов, ден. ед.
Цена акции компании А
Цена акции компании В
Цена акции компании С
В таблице 3.2 приведены значения ценовых индексов, рассчитанных на основе различных типов средних, исходя из данных табл. 3.1.
Ценовая динамика акций компаний А, В, С, характеризующаяся различными
типами индексов
Значения индексов, основанных на ценовых средних
Средняя из абсолютных цен
из относительных цен
Средняя из абсолюьных цен
из относительных цен
На рисунке 3.1 приведены графики динамики различных типов индексов цен, построенных на основе информации, приведенной в табл.3.2.
Рис. 3.1. Динамика различных типов индексов цен на акции компаний Л, В, С
Анализируя данные, приведенные в табл. 3.2 и на рис. 3.1, невозможно без использования формальных критериев определить, какой из индексов является более колеблемым, и, следовательно, более чувствительным к изменению цен. Можно лишь, например, предположить, что наиболее чувствительным будет индекс, рассчитанный на основе среднеарифметических из абсолютных цен, а наименее — индекс, основанный на медиане относительных цен.
Поэтому целесообразно ввести формальный критерий, характеризующий колеблемость данных индексов, и допустить, что в качестве этого критерия будет выступать коэффициент вариации, рассчитываемый как отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической по каждому индексу:
где V — коэффициент вариации,
М — среднеарифметическое значение индекса за указанный период, а — среднеквадратическое отклонение.
Рассчитаем значение коэффициента вариации для исходных данных. Полученные результаты приведены в табл. 3.3.
Показатель коэффициента вариации
Источник: bstudy.net
Индексы динамики цен и объемов
15.15 Индексы, представляющие интерес для СНС, предназначены для того, чтобы подразделить изменения стоимости агрегатов на общее изменение компонента цены и компонента объема. Индекс цен может быть записан и исчислен как средневзвешенная величина изменений в ценах определенного набора товаров и услуг между двумя периодами времени, например, базисным периодом 0 и текущим периодом t. Аналогично этому индекс объема может быть записан и исчислен как средневзвешенная величина изменений в объемах определенного набора товаров и услуг между двумя периодами времени, например, базисным периодом 0 и текущим периодом t. Существует много формул индексов, отличающихся друг от друга, главным образом, в отношении весов, которые применяются для взвешивания отдельных соотношений цен или количеств, и в отношении конкретной формулы среднего, которое может быть арифметическим, геометрическим, гармоническим и т.д. Эти альтернативные формулы, их свойства и относительные достоинства детально описаны в руководствах по исчислению ИЦП и ИПЦ.
Индексы Ласпейреса и Пааше
15.16 Двумя наиболее часто используемыми формулами индексов являются индексы Ласпейреса и Пааше. Индекс цен Ласпейреса (LР) определяется как взвешенное арифметическое среднее соотношений цен с использованием долей стоимостей в базисном периоде 0 в качестве весов:
где 
и 
это цены, количества и стоимости в период времени 0 для продуктов i = 1, …, n и 
15.17 Отметим, что индекс цен Ласпейреса может быть исчислен как изменение стоимости корзины продуктов, структура которой остается неизменной по сравнению с базисным периодом времени 0. Индекс объема Ласпейреса (LQ) может быть исчислен аналогичным образом как изменение стоимости корзины, структура которой в каждом периоде обновляется, но цены базисного периода 0 умножаются на новые количества продуктов, то есть:
15.18 Индексы Пааше также могут быть исчислены как для измерения динамики цен, так и объемов. Индекс Пааше отличается от индекса Ласпейреса в двух отношениях. Он использует формулу гармонического среднего вместо формулы арифметического среднего, и в качестве весов используются объемы или цены текущего периода времени t. Индекс цен Пааше исчисляется по следующей формуле:
а индекс объема Пааше с постоянными весами, или ценами, текущего периода имеет следующую формулу:
Дефлятирование и ряды показателей объема, полученные с помощью формул Ласпейреса и Пааше
15.19 Индекс изменений стоимостей между двумя периодами отражает совместное влияние изменений цен и количеств. Когда используются индексы Ласпейреса и Пааше, индексы изменения стоимости будут точно подразделяться на индекс цен, умноженный на индекс объема, только если индексу цен Ласпейреса соответствует индекс объема Пааше, то есть LP x PQ = IV, или индекс объема Ласпейреса соответствует индексу цен Пааше, то есть LQ х PР = IV. Например, индекс цен 1,05, представляющий 5-процентное изменение, умноженный на индекс объема 1,08, соответствующий 8-процентному изменению, даст индекс изменения стоимости 1,134, то есть изменение на 13,4 процента.
15.20 Эти соотношения могут использоваться каждый раз, когда известны общие стоимости показателей в текущих ценах для обоих периодов и либо индекс цен, либо индекс объема. Допустим, что разработчики хотят исчислить индекс объема. Индексы объема Ласпейреса и Пааше получаются делением индекса изменения стоимости на соответствующие индексы цен: LQ = IV / PP и PQ = IV / LP, соответственно. Отметим, что LQ в правой части уравнения (2) создает ряды индексов объема Ласпейреса для периодов t = 1. T в виде:
Умножение показателей ряда на общий знаменатель позволяет получить ряды показателей объема:
Относительные изменения от периода к периоду для этих рядов идентичны тем, которые получаются с использованием индексов объема Ласпейреса, приведенных в (5), однако два ряда будут отличаться на скалярную величину, являющуюся стоимостью в периоде 0.
15.21 Ряды, в основе которых лежат цены базисного года, как показано в (6), легко понятны, однако метод исчисления индексов объема на основе оценки показателей в ценах базисного периода, не является наилучшим, если период времени T является продолжительным, и в течение его происходят изменения в структуре экономики. Например, если изменения объема определяются для 10-летнего периода, допустим, с 1995 года по 2005 год, в постоянных ценах 1995 года, то динамика объема для более позднего периода основывается на структуре цен, которые с большой вероятностью изменились.
Более обоснованный подход состоял бы в изменении весов в дефляторе Пааше в 2000 году и увязке полученного индекса с индексом за 1999 год. Получающиеся ряды индексов объема для 10-летнего периода больше не будут основаны на оценке показателей в постоянных ценах 1995 года, но будут более репрезентативными индексами объема. Еще лучше метод, который, если позволяют возможности, состоит в формировании рядов на основе увязки ежегодных двусторонних сравнений показателей в постоянных ценах. Предпочтительно использовать термин «ряды объема» для описания таких рядов, а не термин «ряды в постоянных ценах».
Соотношение между индексами Ласпейреса и Пааше
15.22 Прежде чем рассмотреть другие возможные формулы, полезно установить поведение индексов Ласпейреса и Пааше по отношению друг к другу. В принципе, индекс Ласпейреса имеет тенденцию показывать относительно большее увеличение по сравнению с базисным годом, чем индекс Пааше, то есть, в принципе:
как 
, так и 
Можно показать, что соотношение (7) выполняется каждый раз, когда относительные цены и количества (взвешенные по стоимостям) имеют отрицательную корреляцию, то есть когда цены повышаются, приобретенные количества продуктов сокращаются, или наоборот. Такая отрицательная корреляция должна ожидаться всеми, кто оплачивает цены, включая потребителей и фирмы, приобретающие промежуточные продукты, которые реагируют на изменения в относительных ценах, заменяя покупки товаров и услуг, которые стали относительно более дорогими, на товары и услуги, которые стали относительно более дешевыми. Положительная корреляция должна ожидаться фирмами, устанавливающими цены, которые заменяют производимые продукты на товары и услуги, которые стали относительно более дорогими. При таких обстоятельствах неравенства в уравнении (7) изменятся на противоположные.
15.23 Предполагается, что потребители максимизируют полезность, что, в свою очередь, приводит к определенной комбинации приобретенных товаров и услуг. Теоретические индексы стоимости жизни (ИСЖ) определяются как соотношение минимальных расходов, необходимых для обеспечения некоторого уровня полезности для потребителя при двух наборах цен. ИСЖ увеличивается, если поддержание того же самого уровня полезности становится более дорогим. ИСЖ по формуле Ласпейреса отдавал бы предпочтение и фиксировал бы уровень полезности в базисном периоде, а ИСЖ по формуле Пааше фиксировал бы уровень полезности в текущем периоде.
15.24 Индекс цен Ласпейреса обеспечивает верхнюю границу теоретического ИСЖ по формуле Ласпейреса. В соответствии с концепцией ИСЖ потребители могут замещать продукты, которые стали относительно более дорогими, продуктами, которые стали относительно менее дорогими, чтобы обеспечить тот же самый уровень полезности, в то время как индекс фиксированной корзины Ласпейреса не отражает такое замещение. Аналогичным образом, можно показать, что индекс Пааше обеспечивает нижнюю границу теоретического ИСЖ по формуле Пааше.
Другие формулы индексов
15.25 Поскольку различные формулы дают различные результаты, необходимо рассмотрение альтернативных подходов к выбору среди них. Ниже рассматриваются некоторые формулы индексов.
15.26 Из рассмотрения индексов цен Ласпейреса и Пааше в уравнениях (1) и (3) очевидно, что оба индекса основаны на использовании фиксированной корзины количеств. Формулы отличаются в том, что индекс Ласпейреса основан на корзине, зафиксированной в базисном периоде, а индекс Пааше — в текущем периоде. Если цель состоит в том, чтобы просто определить изменение цен между двумя периодами, рассматриваемыми изолированно, то нет никакого основания предпочесть корзину более раннего периода корзине более позднего периода, или наоборот. Обе корзины одинаково приемлемы с концептуальной точки зрения. Таким образом, хотя они дают разные результаты, ни та, ни другая формула не может считаться лучшей по отношению к другой.
15.27. Компромиссное решение для определения индекса цен состоит в применении формулы, которая симметричным образом использует информацию о количествах в базисном и текущем периодах. Можно показать, что индекс Фишера является наиболее подходящим в этом контексте. (Для объяснения этого см. главу 15 руководств по исчислению ИЦП и ИПЦ.) Индекс Фишера (F) определен как геометрическое среднее из индексов Ласпейреса и Пааше, то есть из индексов цен и количества, соответственно:
15.28 Экономическая теория постулирует наличие кривых безразличия, которые показывают, как потребители изменили бы структуру своих расходов в ответ на изменения цен. За исключением случая, когда функции полезности, которые представляют кривые безразличия, аналогичны в периодах времени 0 и t, индексы Ласпейреса и Пааше для этого периода будут основаны на функции полезности различной формы. В общем случае, индекс Ласпейреса даст верхнюю границу своей функции полезности, в то время как индекс Пааше даст нижнюю границу своей функции полезности, но эти две функции полезности будут различными.
15.29 Чтобы решить эту дилемму, был получен ряд индексов, названных гиперболическими индексами, связанных с функциями полезности, которые отражают изменения в количествах за период времени, вызванные изменениями цен. Индекс Фишера — один пример гиперболического индекса; индекс Торнквиста – это другой пример. Индекс Торнквиста – это геометрическая средняя величина соотношений цен, взвешенных по средним долям расходов в двух периодах. Таким образом, индексы цен и индексы объема Торнквиста определены как:
и 
Индексы Фишера и Торнквиста придают равную значимость информации о долях стоимостей в обоих периодах времени для целей взвешивания. По этой причине можно ожидать, что они будут находиться между значениями индексов Ласпейреса и Пааше, что и предполагалось в качестве цели. Различие между числовыми значениями индексов Торнквиста и Фишера и другими схожими симметричными индексами, вероятно, будет не очень большим. Ни индекс объема Торнквиста, ни индекс объема Фишера не используют цены конкретного отдельного периода. Термин «в постоянных ценах» является некорректным для рядов такого рода; более правильно говорить о рядах показателей (индексов) объемов.
15.30 Вышеупомянутый анализ был сделан с точки зрения потребителя или покупателя. Экономическая теория также определяет границы индексов Ласпейреса и Пааше с точки зрения производителя. Производители, максимизирующие выручку, стремятся увеличить относительные количества продуктов в ответ на увеличение относительных цен. Получающиеся границы индексов Ласпейреса-Пааше являются противоположными описанным выше, поскольку произведенные количества заменяются товарами, изменения цен продаж которых выше среднего изменения цен. Однако необходимость устранения систематической ошибки, возникающей в связи с отсутствием учета эффекта замещения, при использовании индексов Торнквиста и Фишера сохраняется.
Желательные характеристики индексов
15.31 Известны два часто упоминаемые критерия, которым предположительно должны удовлетворять индексы, используемые для дефлятирования показателей национальных счетов. К ним относятся критерии «обратимости во времени» и «обратимости факторов».
Критерий обратимости во времени требует, чтобы индекс для периода t по сравнению с периодом 0 был обратной величиной индекса для периода 0 по сравнению к t. Критерий обратимости факторов требует, чтобы произведение индекса цен и индекса объема было равно индексу стоимости. Из обсуждения в предыдущем разделе следует, что индексы Ласпейреса и Пааше не удовлетворяют ни одному из указанных критериев. Однако, как следует из определения индекса Фишера в формуле (8), индекс Фишера действительно удовлетворяет этим критериям.
15.32 Таким образом, индекс Фишера обладает многими привлекательными характеристиками, которые обеспечили его широкое применение в общей экономической статистике. Действительно, Фишер описывал свой индекс как «идеальный». Однако индекс Фишера требует использования данных как базисного, так и текущего периода в качестве весов, что может негативно повлиять на своевременность подготовки индекса, и при этом его не так легко интерпретировать в отличие от индексов Пааше или Ласпейреса.
15.33 В руководствах по исчислению ИПЦ и ИЦП в главах 15, 16 и 17 содержится описание большого числа подходов к выбору формул индексов. Также в главу 16 включено описание стохастического подхода, который отдает предпочтение индексу Торнквиста. Из обзора большого числа работ по этой теме следует, что все три подхода рассматривают индекс Фишера как наилучший, что гиперболические индексы, такие как индексы Фишера и Торнквиста, дают весьма близкие результаты и могут быть обоснованы с точки зрения экономической теории индексов и что различие между гиперболическими индексами и индексами Ласпейреса или Пааше происходит вследствие систематической ошибки, возникающей в связи с отсутствием учета фактора замещения в индексах Ласпейреса и Пааше.
Индексы на практике
15.34 В индексе цен Ласпейреса в уравнении (1) используется один и тот же базисный период 0 для цен и весов. На практике, особенно для ИПЦ, где существенным является требование своевременности, базисный период цен 0 отличается от более раннего периода определения весов, допустим — b, так как требуется время на то, чтобы обработать результаты обследований домашних хозяйств, заведений и прочих источников данных для получения весов, используемых в индексе. Индекс Ласпейреса, определенный в уравнении (1), может иметь своим весом 
вместо 
. Этот индекс называется индексом Янга, и он, как и индекс Ласпейреса, имеет нежелательное свойство, состоящее в том, что он не удовлетворяет критерию обратимости во времени.
15.35 Статистические учреждения часто пытаются преодолеть это, используя стоимостные доли отдельных элементов в качестве весов для определения изменения цен между b и 0, что соответствует формуле индекса Лоу, имеющей следующий вид:
Источник: studopedia.org