В то время как методы окупаемости и средней прибыли в расчете на балансовую стоимость активов служат весьма узким целям, критерий внутренней нормы доходности имеет гораздо более почтенную репутацию и рекомендуется во многих работах, посвященных финансам.
Поэтому если мы более подробно остановимся на его недостатках, то не оттого, что они более многочисленны, а потому, что они менее очевидны.
В главе 2 мы отмечали, что чистая приведенная стоимость может быть выражена также через норму доходности, из чего можно вывести следующее правило: «Реализуй инвестиционные возможности, норма доходности которых выше альтернативных издержек». Данное утверждение, если его правильно интерпретировать, безусловно, корректно. Однако правильная интерпретация не всегда легко дается применительно к долгосрочным инвестиционным проектам.
При определении нормы доходности инвестиций, которые приносят единственный поток денежных средств через один год, двусмысленности не возникает:
ВСД — внутренняя норма доходности.mp4
, поток денежных средств ,
Или же мы можем записать формулу чистой приведенной стоимости инвестиций и определить ставку дисконта, при которой NPV= 0:
1 + ставка дисконта
Ставка дисконта = —’-— 1.
Конечно, С, — это поступления, -С0 — требуемые инвестиции, и, таким образом, оба наших уравнения говорят об одном и том же. Ставка дисконта, при которой чистая приведенная стоимость равняется нулю, является также нормой доходности.
К сожалению, нет вполне удовлетворительного способа найти точную норму доходности долгосрочных активов. Наиболее приемлема для этих целей так называемая норма доходности дисконтированных потоков денежных средств, или внутренняя норма доходности. Показатель внутренней нормы доходности часто используется в сфере финансов. Это удобный критерий, но, как мы еще увидим, он может быть и ошибочным.
Поэтому вам следует знать, как ее вычислять и как верно применять.
Внутренняя норма доходности (IRR) определяется как ставка дисконта, при которой чистая приведенная стоимость равна нулю. Это означает, что для определения внутренней нормы доходности инвестиционного проекта продолжительностью /лет мы должны определить внутреннюю норму доходности из следующего выражения:
NPV = C0+ с’ + Г+. + ^—- = 0.
0 1+IRR (1 + IRR) (1 + IRR)
На практике внутреннюю норму доходи ости обычно находят методом подбора. Например, рассмотрим проект, который дает следующие потоки денежных средств:
Потоки денежных средств (в дол.)
Внутренняя норма доходности выводится из следующего уравнения:
Давайте попробуем взять ставку дисконта, равную нулю. В этом случае чистая приведенная стоимость не будет равна нулю, она равна +2000 дол.
NPV = -4000+™°+^+2000don. 1,0 (1,0)2
Чистая приведенная стоимость положительна, следовательно, внутренняя норма доходности должна быть больше нуля. Следующим шагом будет попытка продисконтировать по ставке 50%. В этом случае чистая приведенная стоимость равна -889 дол.
IRR внутренняя норма рентабельности (доходности). Расчет
NPV = -4000+2™-+^-889do, 1,5 (1,5)
Чистая приведенная стоимость отрицательна, следовательно, внутренняя норма доходности должна быть меньше 50%. На рисунке 5-2 мы построили график зависимости чистой приведенной стоимости от ставок дисконта. Из
Внутренняя норма доходности — 28
Затраты по данному проекту составляют 4000 дол., и впоследствии он дает потоки денежных средств в размере 2000 дол. в году 1 и 4000 дол. в году 2. Внутренняя норма доходности проекта равна 28%, т.е. ставке дисконта, при которой чистая приведенная стоимость равна нулю.
Чистая приведенная стоимость (в дол.)
40 50 60 70 80 90 100 дисконта (в %)
рисунка видно, что ставка дисконта на уровне 28% дает искомую чистую приведенную стоимость, равную нулю.
Следовательно, внутренняя норма доходности равна 28%.
Если вы должны найти значение внутренней нормы доходности «вручную», то наиболее легкий способ сделать это — взять три или четыре комбинации чистой приведенной стоимости и ставки дисконта на графике, подобном графику на рисунке 5-2, соединить точки плавной кривой и затем найти ставку дисконта, при которой чистая приведенная стоимость равна нулю. Но безусловно, быстрее и надежнее использовать компьютер или калькулятор со специальными программами, как и поступает большинство компаний.
Итак, согласно правилу внутренней нормы доходности инвестиционный проект следует принять, если альтернативные издержки меньше, чем внутренняя норма доходности. Доказательством этого служит график на рисунке 5-2.
Если альтернативные издержки меньше внутренней нормы доходности, равной 28%, тогда при дисконтировании поставке, равной альтернативным издержкам, проект имеет положительную чистую приведенную стоимость. Если альтернативные издержки равны внутренней норме доходности, проект имеет нулевую чистую приведенную стоимость. И если альтернативные издержки превышают внутреннюю норму доходности, проект имеет отрицательную чистую приведенную стоимость. Следовательно, когда мы сравниваем альтернативные издержки инвестирования с внутренней нормой доходности нашего проекта, мы действительно можем сказать, имеет ли проект положительную чистую приведенную стоимость. Это верно применительно не только к нашему примеру. Вывод, сделанный согласно данному правилу, будет тем же, что и согласно правилу чистой приведенной стоимости всякий раз, когда чистая приведенная стоимость проекта является постепенно убывающей функцией ставки дисконта
Многие фирмы, к нашему сожалению, предпочитают в качестве критерия использовать не чистую приведенную стоимость, а внутреннюю норму доходности. Хотя, верно сформулированные, эти два критерия формально эквивалентны, правило внутренней нормы доходности таит в себе несколько ловушек.
Ловушка 1 — Не у всех потоков денежных средств чистая приведенная стоимость умень- кредитовать или шается с ростом ставки дисконта.
Рассмотрим два следующих проекта А и Б: брать взаймы?
Потоки денежных средств (в дол.) норма приведенная
Проект С0 С, (в %) при г=10%
А -1000 +1500 +50 +364
Б +1000 -1500 +50 -364
Внутренняя норма доходности каждого из проектов составляет 50% (-1000+ + 1500/1,50 = 0 и +1000 — 1500/1,50 = 0).
Означает ли это, что оба проекта одинаково привлекательны? Ясно, что нет, так как в проекте А, когда мы изначально выплачиваем 1000 дол., мы даем взаймы по ставке 50%, а в проекте Б, где мы изначально получаем 1000 дол., мы берем взаймы по ставке 50%. Когда мы предоставляем кредит, мы хотим получить высокую норму доходности; когда же мы берем деньги взаймы, мы хотим, чтобы норма доходности была низкой.
Если для проекта Б вы построите график, как на рисунке 5-2, вы увидите, что чистая приведенная стоимость увеличивается с ростом ставки дисконта. Очевидно, что в этом случае метод внутренней нормы доходности, как мы его представили выше, работать не будет; мы должны найти внутреннюю норму доходности, значение которой меньше альтернативных издержек.
Этого уже вполне достаточно, но давайте рассмотрим еще проект В:
Внутренняя Чистая Потоки денежных средств (в дол.) норма приведенная
Проект С„ С, С2 Cj (в %) при Г—
В +1000 -3600 +4320 -1738 +20 -0,75
Оказывается, чистая приведенная стоимость проекта В равна нулю при ставке дисконта 20%. Если альтернативные издержки равны 10%, это значит, что проект стоит осуществлять.
В какой-то степени проект В аналогичен получению кредита, поскольку мы получаем деньги сейчас и возвращаем их в первый период; в какой-то степени он аналогичен также предоставлению займа, поскольку в период 1 мы отдаем деньги и получаем их обратно в период 2. Следует ли нам принять проект или же лучше отказаться от него? Единственный способ найти ответ, это оценить его чистую приведенную стоимость. Рисунок 5-3 показывает, что чистая приведенная стоимость нашего проектардс/ит с ростом ставки дисконта. Если альтернативные издержки равны 10% (т. е. меньше внутренней нормы доходности), проект имеет небольшую отрицательную чистую приведенную стоимость, и нам следует отказаться от проекта.
Ловушка 2 — множественность значений нормы доходности
Чистая приведенная стоимость (в дол.)
Чистая приведенная стоимость проекта В растет с ростом ставки дисконта.
Проект В имеет единственную внутреннюю норму доходности, однако это, как правило, не так в тех случаях, когда происходит более чем одно изменение в знаке потоков денежных средств. Рассмотрим, например, проект Г. Затраты по нему составляют 4000 дол., и он приносит вам в первый год 25 ООО дол. Затем во втором году вы должны выплатить 25 ООО дол. (Существует множество проектов, по окончании которых происходит отток денежных средств. Например, если вы ведете открытую добычу угля, возможно, вам потребуется инвестировать значительную сумму, чтобы восстановить землю по окончании разработок месторождения.)
Внутренняя Чистая Потоки денежных средств (в дол.) норма приведенная
Проект С„ С, С2 (в %) при г=
Г -4000 +25 000 -25 000 25 и 400 -1934
Проект Г имеет две внутренние нормы доходности. Чистая приведенная стоимость равна 0, когда ставка дисконта равна 25% и когда она равна v^500 600 L
Внутренняя норма доходности =25 — Ставка дисконта
ды меняется. Может быть столько различных значений внутренней нормы доходности проекта, сколько раз изменяется знак потоков денежных средств .
Хотя и эта ситуация уже достаточно сложна, существуют еще случаи, когда проект вообще не имеет внутренней нормы доходности. Например, у проекта Д чистая приведенная стоимость положительна при любых ставках дисконта.
норма доходности (в%)
Чистая приведенная стоимость при г=1
Потоки денежных средств (в дол.)
Для таких случаев было придумано несколько способов применения метода внутренней нормы доходности. Однако они не только неадекватны, но и необходимости в них нет, поскольку наиболее простым решением является использование метода чистой приведенной стоимости.
Ловушка 3 — взаимоисключающие проекты
Фирмам часто приходится выбирать один из нескольких альтернативных способов выполнения одной и той же работы или использования одних и тех же мощностей. Говоря другими словами, им необходимо сделать выбор из взаимоисключающих проектов. И в этом случае метод внутренней нормы доходности также может привести к ошибке.
Рассмотрим проекты Е и Ж:
Потоки денежных средств (в дол.)
+20 000 +35 000 Внутренняя Чистая норма приведенная доходности стоимость (в%) при г = 10% 100 +8182 75 + 11 818
Допустим, проект Е предполагает производство оборудования с ручным управлением, а проект Ж — того же оборудования с добавлением компьютерного управления. Оба проекта представляют собой хорошие варианты инвестирования, но проект Ж имеет более высокую чистую приведенную стоимость и, следовательно, является лучшим. Однако представляется, что метод внутренней нормы доходности указывает на то, что если вы должны выбирать между этими проектами, вам следует принять проект Е, поскольку он имеет более высокую внутреннюю норму доходности. Если вы будете руководствоваться методом внутренней нормы доходности, вас удовлетворит норма доходности в 100%; если же вы будете следовать методу чистой приведенной стоимости, вы станете богаче на 11 818 дол.
В таких случаях вы можете использовать метод внутренней нормы доходности для оценки внутренней нормы доходности приростных потоков. Ниже описано, как это сделать. Во-первых, рассмотрите проект меньшей стоимости (в нашем примере это проект Е). Его внутренняя норма доходности равна 100% и превосходит альтернативные издержки, равные 10%. Отсюда вы понимаете, что проект Е приемлем. Теперь вы спрашиваете себя, стоит ли инвестировать дополнительно 10 000 дол. в проект Ж. Осуществление проекта Ж по сравнению с проектом Е дает следующие приросты потоков денежных средств:
Внутренняя Чистая Потоки денежных средств (в дол.) норма приведенная
Проект С„ С, (в %) при г=
Ж-Е -10 000 +15 000 50 +3636
Внутренняя норма доходности дополнительных инвестиций равна 50%, что также значительно превышает 10%-ные альтернативные издержки. Поэтому вам следует отдать предпочтение проекту Ж
Без рассмотрения приростных вложений внутренняя норма доходности не может служить надежным критерием для ранжирования проектов различных масштабов. Он также ненадежен при выборе проектов с различным распределением денежных потоков во времени. Например, фирма может осуществить либо только проект 3, либо только проект И (проект К в данном случае не принимайте во внимание):
Внутренняя Чистая Потоки денежных средств (в дол.) норма приведенная
Проект С„ С, С2 С, С4 С, ит. д. (в %) приг=10%
3 -9000 +6000 +5000 +4000 0 0 . 33 3592
И -9000 +1800 +1800 +1800 +1800 +1800 . 20 9000
К -6000 +1200 +1200 +1200 +1200 . 20 6000
Проект 3 имеет более высокую внутреннюю норму доходности, но у проекта И выше чистая приведенная стоимость. На рисунке 5-5 показано, почему два
Чистая приведенная стоимость (в дол.)
Внутренняя норма доходности у проекта 3 больше, чем у проекта И, однако последний имеет более высокую чистую приведенную стоимость, при условии, что альтернативные издержки не превышают 15,6%.
Ставка дисконта (в %)
метода приводят к разным результатам. Сплошная линия обозначает чистую приведенную стоимость проекта 3 при различных ставках дисконта.Так как при ставке дисконта, равной 33%, чистая приведенная стоимость равна нулю, то она выступает внутренней нормой доходности проекта 3. Аналогично, пунктирная линия обозначает чистую приведенную стоимость проекта И при различных ставках дисконта. Внутренняя норма доходности проекта И равна 20%. (Мы предполагаем, что потоки денежных средств в рамках проекта И продолжаются неограниченное время.) Заметим, что проект И имеет более высокую чистую приведенную стоимость до тех пор, пока альтернативные издержки составляют менее 15,6%.
Причина, по которой метод внутренней нормы доходности ведет к ошибочным заключениям, состоите том, что хотя совокупный приток денежных средств по проекту И более крупный, однако возникает он позже. Поэтому, когда ставка дисконта низкая, проект И имеет более высокую чистую приведенную стоимость; когда ставка дисконта высокая, более высокую чистую при-веденную стоимость имеет проект 3. (На рисунке 5-5 вы можете увидеть, что два проекта имеют одинаковую чистую приведенную стоимость при ставке дисконта, равной 15,6%.) Если посмотреть на внутренние нормы доходности двух проектов, то заметим, что при ставке дисконта 20% чистая приведенная стоимость проекта И равна нулю (внутренняя норма доходности равна 20%), а чистая приведенная стоимость проекта 3 положительна. Таким образом, если бы альтернативные издержки составляли 20%, инвесторы могли бы более высоко оценить краткосрочный проект 3. Но в нашем примере альтернативные издержки равны не 20%, а 10%. Инвесторы готовы заплатить относительно более высокую цену за долгосрочные ценные бумаги, и поэтому они заплатят относительно высокую цену за долгосрочный проект. При альтернативных издержках, равных 10%, чистая приведенная стоимость инвестиций в проект И составляет 9000 дол., а инвестиций в проект 3 только 3592 дол.’
Это наш излюбленный пример. Нам известно множество вариантов реакции на него деловых людей. Когда просят выбрать между проектами 3 и И, многие выбирают 3. Очевидно, причина — в быстрой окупаемости проекта 3. Иначе говоря, они полагают, что, предприняв проект 3, они позднее смогут осуществить также и проект К (заметим, что проект К можно финансировать, используя потоки денежных средств проекта 3), если же они возьмутся за проект И, у них не будет достаточно денег, чтобы осуществить проект К. Говоря другими словами, глубинной предпосылкой их выбора между проектами 3 и И выступает недостаток капитала. Когда это подспудное допущение начинает обсуждаться, они обычно соглашаются, что проект И был бы лучшим, если бы не дефицит капитала.
Однако с введением ограничений на капитал возникают еще два вопроса. Первый связан с тем фактом, что большинство менеджеров, предпочитающих проект 3 проекту И, работают в фирмах, которые, как правило, не испытывают трудностей в привлечении больших объемов капитала. Почему менеджер, скажем, компании General Motors (G.M.), выбирая проект 3, должен объяснять это ограниченностью капитала? G.M. в состоянии привлечь капитал в каком угодно объеме и может принять проект К вне зависимости от того, выбран проект 3 или проект И; следовательно, К не должен влиять на выбор между проектами 3 и И. Ответ, по-видимому, заключается в том, что крупные фирмы, как правило, планируют долгосрочные вложения для своих отделов и подразделений, рассматривая это как часть общей системы планирования и контроля фирмы. Поскольку такие системы сложны и громоздки, не так легко впоследствии внести изменения в эти бюджеты долгосрочных вло-жений, и поэтому руководители среднего уровня видят в них реальные ограничения.
Второй вопрос. Если существуют ограничения на капитал, либо объективные, либо специально установленные, следует ли использовать внутреннюю норму доходности в качестве критерия отбора проектов? Ответ — нет.
В этом случае задача сводится к тому, чтобы отыскать такой пакет инвестиционных проектов, который отвечал бы ограничениям на капитал и имел наибольшую чистую приведенную стоимость. С помощью метода внутренней нормы доходности такой пакет определить невозможно. Как мы увидим в главе 6, обычно на практике для этого используют метод линейного программирования.
Когда нам приходится выбирать между проектами 3 и И, наиболее легкий способ — сравнить чистые приведенные стоимости. Однако если ваше сердце отдано методу внутренней нормы доходности, вы можете использовать его при условии оценки внутренней нормы доходности приростных потоков. Техника здесь та же, что показана выше. Во-первых, вы удостоверяетесь, что проект 3 имеет удовлетворительную внутреннюю норму доходности. Затем вы рассматриваете доходность дополнительных инвестиций в проект И. Потоки денежных средств (в дол.) Внутренняя
норма -доходности (в%) Чистая приведенная стоимость при г=10% Проект с. С, С2 С, С4 С, и т. д. И-3 0 -4200 -3200 -2200 +1800 +1800 15,6 +5,408
Внутренняя норма доходности дополнительных инвестиций в проект И равна 15,6%. Поскольку она превышает альтернативные издержки, проект И следует принять.
Ловушка 4 — что происходит, когда мы ие можем определить временную структуру процентных ставок
Внутренний норма доходности финансового потока
Рассмотрим конечный финансовый поток, порождаемый начальными инвестициями С0 > 0:
В этом случае приведенную стоимость потока PV часто называют чистой приведенной стоимостью (Net Present Value, NPV);
Считается, что вкладывать деньги в проект, порождающий данный финансовый поток, выгодно, если NPV > 0. Подсчет приведенной стоимости проектов является составной частью процесса определения стоимости акций на финансовом рынке. При этом часто возникает задача определения постоянной процентной ставки г, по которой нужно проводить дисконтирование:
Определить точно процентную ставку нелегко, поскольку процентная ставка г в данном случае имеет смысл альтернативной стоимости, которую получает инвестор, вкладывая деньги в проект, вместо того, чтобы инвестировать их в активы финансового рынка. Считается выгодным вкладывать деньги в те проекты, которые имеют доходность, более высокую, чем альтернативная стоимость капитала. Задача определения истинной нормы доходности долгосрочных проектов является весьма сложной для решения. Один из способов оценки истинной нормы доходности состоит в нахождении нормы доходности дисконтированного потока платежей (Discounted Cash Flow rate of return, DGF) или внутренней нормы доходности (Internal Rate of Return, 1RR). Внутренняя норма доходности определяется как ставка дисконтирования г в (15.6), при которой NPV = 0. Это приводит к необходимости решать уравнение
Сделав замену .v = 1/(1 + /-), получим уравнение
Это уравнение нс всегда имеет вещественные корни и решать его в общем случае можно только численно при помощи компьютера.
Пример 15.2. Найдите внутреннюю норму доходности (IRR) потока платежей CF = <(0, -7200):(|. 1000),(2, 10000)>.
Решение. Для определения IRR составим уравнение (15.7):
Положив дг = 1/(1 + г), получим уравнение 50.v 2 + 5jr-36 = 0.
Положительный корень этого уравнения х = 0,8. Решая уравнение
- -= 0,8, получим / =0,25. Поэтому IRR = 25%.
- 1 + /•
Пусть в (15.6) все платежи С, >0, * = 1,2. и, и среди них сеть хотя бы один Cj >0. Тогда при г>-1 функция
является непрерывной, монотонно убывающей функцией, при этом при г—>+оо NPV(г) —>—С0 0,
т.е. NPV(r) меняет знак с плюса на минус. Следовательно, уравнение (15.8) имеет единственное решение г = IRR . Более того, внутренняя норма доходности будет положительной (IRR > 0), при
т.е. если нстто-сумма превосходит начальные инвестиции. Из формулы (15.5) видно, что NPV > 0 при г IRR. Поэтому при сравнении альтернативной стоимости с IRR проекта, на самом деле решается вопрос о знаке NPV данного проекта.
Нс следует смешивать понятия внутренней нормы доходности и альтернативной стоимости, хотя обе величины являются ставками дисконтирования в (15.5). Дело в том, что внутренняя норма доходности сеть мера рентабельности проекта, которая зависит только от сумм и моментов платежей, присущих финансовому потоку данного проекта, в то время как альтернативная стоимость сеть стандарт рентабельности проекта, который используется для определения стоимости этого проекта. Альтернативная стоимость устанавливается на финансовых рынках и представляет собой ожидаемую норму доходности, которую можно получить от других активов, сравнимых по степени риска с данным проектом.
Оценка нормы доходности проекта с помощью IRR перестает быть надежной при зависимости процентной ставки от времени. В этом случае необходимо сравнивать IRR проекта с ожидаемой IRR, которую имеют продающиеся на рынке активы, эквивалентные данному проекту по степени риска, с такой же временной структурой потока платежей. Такие активы очень трудно найти. Гораздо проще рассчитать чистую приведенную стоимость по формуле (15.5).
Источник: bstudy.net
Показатель внутренней нормы доходности (IRR, Internal Rate of Return) и модифицированная норма доходности (MIRR, Modified Internal Rate of Return).
Внутренняя норма доходности (IRR) – является финансовым показателем, который позволяет сравнить и оценить различные инвестиционные проекты по степени их эффективности.
Другое название показателя IRR – внутренняя норма рентабельности. Внутренняя норма доходности – это норма прибыли, при которой чистая текущая стоимость инвестиций равна нулю. Внутренняя норма доходности (IRR) показывает ставку дисконтирования, при которой собственник ничего не теряет. IRR = r (ставка дисконтирования) при NPV=0.
Способ №1 расчета показателя внутренней нормы доходности IRR. Формула
Для того что бы рассчитать значение IRR необходимо решить следующее уравнение.
Где: NPV — чистая текущая стоимость; CF — денежные потоки; CI — денежные затраты (инвестиции); IRR — внутренняя норма доходности.
Способ №2 расчета показателя внутренней нормы доходности IRR. Формула
Но необходимо, что бы соблюдалось условие: NPVa> NPVb и rb>IRR>ra.
Достоинства показателя внутренней нормы доходности IRRявляются:
- возможность сравнения различных инвестиционных проектов с различным горизонтом вложения;
- возможность сравнения различных инвестиционных проектов по масштабу. Это позволяет использовать заемные средства для реализации того или иного проекта. Так если IRR = 21%, а банковский кредит составляет 15%, то данный проект имеет перспективу реализации.
Показатель внутренней нормы доходности используется банками для оценки эффективности вложения в различные инвестиционные проекты и венчурные бизнесы.
Недостатками показателя внутренней нормы доходности IRRявляются:
- использование положительных денежных потоков, которые реинвестируются к ставке;
- невозможно определить абсолютное значение денег, которое принесет инвестиционный проект;
- при не систематичном притоке и оттоке денежных средств может существовать несколько значений IRR, что затрудняет принятие единственного решения.
Внутренняя норма доходности является вторым после NPV показателем, на основе которого определяют привлекательность инвестиций.
Модифицированная внутренняя норма доходности (рентабельности) – MIRR (ModifiedInternal Rate of Return) используется для случаев, когда денежные потоки нестандартные, то есть имеются как положительные, так и отрицательные потоки в период реализации проекта.
Формула расчета модифицированной внутренней нормы доходности MIRR представляет собой:
где: MIRR — модифицированная внутренняя норма доходности, CF — денежные потоки в период i, WACC -средневзвешенная стоимость капитала, r — ставка дисконтирования.
Для того что бы выбрать инвестиционный проект MIRR должен быть больше чем ставка дисконтирования – r.
Достоинством MIRR является также учет реинвестирования денежных потоков в процессе реализации инвестиционного проекта, что решает проблему IRR.
Расчет внутренней нормы доходности и модифицированной внутренней нормы доходности в Excel
Расчет внутренней нормы доходности осуществляется при выделении ячеек с денежными потоками за исследуемые промежутки времени, формула расчета = ВСД().
Для расчета модифицированной внутренней нормы доходности используется функция = МВСД().
Источник: beintrend.ru