Двое рабочих заработали 900 рублей один работал 2

В таких задачах всегда присутствуют одни и те же величины, их три:
— первая величина — это время, за которое выполняется та или иная работа. Обозначают время буквой t.
— вторая величина — объём работы: сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Обозначим объем буквой О.
— третья величина — производительность. По сути, это скорость работы. Обозначим производительность буквой П.

Скорость любой работы, т.е. производительность можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время.
Получим формулу для производительности: П = О : t.

Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 7 часов?

5 деталей в час — производительность
7 часов — время работы
Найти объем.
5 · 7 = 35.
Ответ: 35 деталей.

Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Ему нужно сделать 20 деталей. За какое время он выполнит эту работу?

Известны объем и производительность, найти время.
20 : 5 = 4.

Орифлэйм и деньги. Чего не знают бедные люди.

Ответ: 4 часа

Пример. Красная Шапочка и Волк очень любят пирожки. Волк может съесть 24 пирожка за 4 часа, а Красная Шапочка — 35 пирожков за 7 часов. У Волка в корзинке 30 пирожков, а у Красной Шапочки — 20. Кто съест свои пирожки раньше, если они начали есть одновременно?

Определим производительности Волка и Красной Шапочки. Волк съест 24 пирожка (объём работы) за 4 часа (время). Значит, его производительность: П = О:t = 24:4 = 6 пирожков в час.
Производительность Красной Шапочки: П = О:t = 35:7 = 5 пирожков в час.
Посчитаем сколько времени затратит каждый на свои пирожки.
У Волка 30 пирожков. Значит, затратил времени: t = О:П= 30:6 = 5 часов.
Красная Шапочка потратила на свои 20 пирожков: t = О:П = 20:5 = 4 часа.
Красная Шапочка опередила Волка на один час.
Ответ: Красная Шапочка.

Как определить производительность в следующих задачах:
— труба заполняет бассейн за 3 часа. (объем работы — бассейн — 1 бассейн);
— бригада строителей строит дом за 150 дней. (объем работы — дом — 1 дом);

— трактор вспахивает поле за 12 часов. (объем работы — поле — 1 поле).
Следовательно, в задачах объем работы равен 1.

Задачи на совместную работу

Совместная работа возникает, когда несколько человек (бригад, насосов, тракторов и т.д.) выполняют одну и ту же работу вместе, причем они работают с разными скоростями.

Пример. Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая — за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно?

Так как трубы работают вместе, складывают их производительности.
Для первой трубы, которая заполняет 1 бассейн за 4 часа: П = О:t = 1:4, т.е. за час первая труба заполнит 1/4 бассейна.
Для второй трубы: П = О:t = 1:6, т.е. вторая труба заполнит за час 1/6 бассейна.
Вместе, при совместной работе, трубы заполнят за час: 1/4 + 1/6 = 5/12 — две трубы за 1 час.

Сопровождение новичка. Евгения Михайлова

Объём работы 1 бассейн. Совместная производительность 5/12 бассейна в час.
t = О:П = 1 : 5/12 = 12/5 = 2,4 (ч.)
Ответ:2,4 часа.

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) Одна труба заполняет бассейн за 3 ч, а вторая — за 5 ч. За какое время заполнится бассейн, если будут работать две трубы одновременно? Выберите правильное значение:

1) (3+5):2; 2) 1: (3+5); 3) 1: (1/3+1/5).

б) Один насос заполняет бак за 4 ч, а второй — за 2 ч. За какое время заполнится бак, если будут работать два насоса одновре­менно? Выберите правильное значение:

1) (4+2):2; 2) 1: (1/4+1/2) ; 3) 1: (4+2).
Решение:

а) Производительность первой трубы — 1/3, производительность второй трубы — 1/5. Общая производительность — 1/3+1/5. Для нахождения затраченного времени при совместной работе разделим объем работы -1 на производительность: 1:(1/3+1/5).

Ответ: 3.

2. а) Два строителя вместе сложили стену за 10 дней, один из них мог бы выполнить эту работу за 16 дней. За сколько дней может выполнить эту работу второй? Выберите правильное значение:

1) 1: (1/10+1/16); 2) 1: (1/10-1/16); 3) 1: (16-10).

б) Одна наборщица может набрать рукопись за 12 ч, а две, работая вместе, — за 8 ч. За сколько часов выполнит эту работу вторая наборщица? Выберите правильное значение:

1)1: (1/8-1/12); 2) 1: (1/12+1/8); 3) 1: (12-8).

Решение:
а) Производительность первого строителя — 1/16, о бщая производительность — 1/10. Производительность второго строителя — 1/10-1/16. Для нахождения затраченного времени вторым строителем разделим объем работы -1 на производительность: 1:(1/10-1/16).
Ответ: 2.

3. а) Папа выполняет всю работу за 4 ч, а его сын— за 7 ч. Какую часть работы они сделают вместе за 1 ч?
б) Мама выполняет всю работу за 1 ч, а дочь эту же работу выполняет за 2 ч. Какую часть работы они сделают вместе за 1 ч?
Решение:
а) Производительность папы — 1/4, производительность сына — 1/7. Производительность общая: 1/4+ 1/7=11/28 всей работы за 1 час.
Ответ: 11/28 работы.

4. а) При одновременной работе 6 комбайнов уберут все поле за 14 ч. За сколько часов уберут поле 8 комбайнов?
б) При одновременной работе 7 комбайнов уберут поле за 14 ч. За сколько часов уберут поле 10 комбайнов?
Решение:
а) 1) 6*14=84 (ч) — понадобится одному комбайну, чтобы убрать все поле.
2) 84 : 8= 10,5 (ч) — понадобится 8 комбайнам, чтобы убрать все поле.
Ответ: 10,5 часов

5. а) 18 студентов, работая по 6 ч в день, прополют все поле все поле. Сколько понадобится студентов, чтобы прополоть это поле за то же время, если они будут работать по 9 ч в день?
б) 12 студентов, работая по 8 ч в день, соберут все яблоки в саду. Сколько понадобится студентов, чтобы убрать все яблоки в этом саду за то же время, если они будут работать по б ч в день?
Решение:
а) 1) 6*18=108 (ч) — понадобится одному студенту, чтобы прополоть все поле.
2) 108 : 9= 12(ст.) — понадобится, чтобы прополоть все поле, работая по 9 ч в день.
Ответ: 12 студентов.

6. а) Производительности дочери и мамы относятся как 2:3. Работая вместе, они прополют огород за 12 ч. За сколько часов прополет огород каждая, работая отдельно?
б) Производительности труда папы и сына относятся как 3 : 5. Работая вместе, они выполнят работу за 15 ч. За сколько часов каждый справится с данной работой, работая отдельно?

Решение:
а) Пусть х — коэффициент пропорциональности, тогда производительность дочери — 2х, а мамы — 3х. Производительность при совместной работе 2х+3х=5х. Объем работы равен 12*5х=60х.
1) 60х:2х=30 (ч) — затратит дочь.
2) 60х:3х=20 (ч) — затратит мама.
Ответ: 30 часов; 20 часов.

7. а) Заказ на печать учебников типография должна была выполнить по плану за 15 дней. Но уже за три дня до срока типография выполнила план, так как печатала ежедневно по 2 тыс. учебников сверх плана. Сколько учебников напечатала типография?
б) Заказ на выпуск станков завод должен был выполнить за 30 дней. Но за три дня до срока завод выполнил заказ, так как выпускал ежедневно по 3 станка сверх плана. Сколько станков выпустил завод?
Решение:
а) Пусть х учебников в день типография должна была печатать по плану, но печатала х+2000 учебников день.
1) 15-3=12 (дн.) — потратила типография на заказ.
15х — количество заказанных учебников, 12(х+2000) — количество напечатанных учебников. Эти количества равны. Составим и решим уравнение:
15х=12(х+2000),
15х=12х+24000,
3х=24000,
х=8000 (м.) — в день должна была печатать типография.
2) 8000*15=120000 (м.) — напечатала типография.
Ответ: 120000 учебников.

8. а) При совместной работе двух погрузчиков железнодорожный состав был загружен за 4 ч 12 мин. Сколько времени потребуется на загрузку такого же железнодорожного состава каждым погрузчиком, если одним из погрузчиков железнодорожный состав можно загрузить на 8 ч быстрее, чем другим?
б) При совместной работе двух кранов работа была выполне­на за 2 ч 6 мин. Сколько времени потребуется для выполнения этой работы каждым краном, если один может выполнить ее на 4 ч быстрее другого?

Решение:
а) Пусть х — время загрузки состава первым погрузчиком, тогда х+8 — время загрузки состава вторым погрузчиком.
Производительность первого погрузчика — 1/х, второго погрузчика — 1/(х+8). Совместная производительность 1/х+1/(х+8)=(2х+8)/(х(х+8)).
Время совместной работы равно 1 : (2х+8) /(х(х+8))=х(х+8)/(2х+8).
По условию время равно 4 ч 12 мин = 4,2 ч. Составим и решим уравнение:
х(х+8)/(2х+8)=4,2,
х(х+8)=4,2(2х+8),

х 2 +8х-8,4х-33,6=0,
х 2 -0,4х-33,6=0,
D=( 11,6) 2

х1=6 (ч) — понадобится первому погрузчику, х2=(0,4-11,6):2=-5,6 — не подходит по условию задачи.
1) 6+8=14 (ч) — понадобится второму погрузчику.
Ответ: 6 часов, 14 часов.

9. а) Бассейн наполняется через две трубы за 6 ч. Через пер­вую трубу бассейн наполняется на 5 ч быстрее, чем через вто­рую. За какое время может быть наполнен бассейн через каждую трубу в отдельности?
б) Бак наполняется через две трубы за 2 ч. Через первую трубу бак наполняется на 3 ч быстрее, чем через вторую. За какое вре­мя может быть наполнен бак через каждую трубу в отдельности? (№ 6.4.30 [7])

Решение:
а) Пусть х — время заполнения первой трубой, тогда х+5 — время заполнения второй трубой.
Производительность первой трубы 1/х, второй трубы 1/(х+5). Совместная производительность 1/х+1/(х+5)=(2х+5)/(х(х+5)).
Время совместной работы равно 1 : (2х+5) /(х(х+5))=х(х+5)/(2х+5).
По условию время равно 6 ч. Составим и решим уравнение:
х(х+5)/(2х+5)=6,
х(х+5)=6(2х+5),

х 2 +5х-12х-30=0,
х 2 -7х-30=0,
D=( 13) 2

х1=10 (ч) — понадобится первой трубе, х2=(7-13):2=-3 — не подходит по условию задачи.
1) 10+5=15 (ч) — понадобится второй трубе.
Ответ: 10 часов, 15 часов.

10. а) Двое плиточников облицевали стены за 12 ч. Если бы сначала первый облицевал половину стен, а затем второй — вторую половину, то облицовка была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы облицевать стену каждый плиточник в отдельности?
б) Двое каменщиков сложили стену за 6 ч. Если бы сначала первый выложил половину стены, а затем второй — вторую половину стены, то вся стена была бы сложена за 12,5 ч. За какое время мог бы сложить эту стену каждый каменщик в отдельности?

Решение:
а) Пусть первый работал х часов, второй — у часов. Производительность первого 1/х, второго 1/у. При совместной работе их время равно 1: (1/х+1/у) =12.
Если первый и второй делают по половине работы, то их время равно 0,5:(1/х) +0,5:(1/у)=25. Решим систему из двух уравнений:

(50-у)у-12(80-у)-12у=0,
50у-у 2 -600+12у-12у=0,
у 2 -50у+600=0
D=( 10) 2

у1=20 (ч) — работал второй, х1=50-20=30 (ч) — работал первый.
у2=30 (ч) — работал второй, х1=50-30=20 (ч) — работал первый.
Ответ: 20 часов, 30 часов.

11. а) Рабочий копал траншею. Когда он проработал 7 ч, к нему присоединился второй рабочий. Вместе они проработали 2 ч. За сколько часов может выкопать траншею каждый рабочий, работая отдельно, если первому нужно на это на 4 ч больше, чем второму?
б) Один рабочий работал 9 ч, после чего к нему присоединился другой рабочий. После 7 ч совместной работы они выполнили всю работу. За сколько часов мог бы выполнить работу каждый рабочий, работая самостоятельно, если первому нужно для этого на 3 ч больше, чем второму?

Решение:
а) Пусть х — время работы первого, тогда х-4 — время работы второго.
Производительность первого — 1/х, второго — 1/(х-4).
Объем работы первого — 1/х*(7+2), объем работы второго — 1/(х-4)*2. Весь объем равен 1.
Составим и решим уравнение:
9/х + 2/(х-4)=1,
11х-36=х(х-4),

х 2 -15х+36=0,
D=( 9) 2

х1=3 (ч) — понадобится первому, 1) 3-4=-1(ч) — не подходит по условию задачи.
х2=12 ( ч) — понадобится первому, 2) 12-4=8 (ч) — понадобится второму.
Ответ: 12 часов, 8 часов.

12. а) Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый был переведен на другую работу и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому? (№6.5.34 [7])

б) Бассейн может наполняться водой из двух кранов. Если открыть первый кран на 10 мин, а второй — на 20 мин, то бас­сейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а вто­рой — на 15 мин, то заполнится — бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?

Решение:
а) Пусть х — время первого, тогда х+1 — время второго. Производительность первого 1/х, производительность второго 1/(х+1). Вместе они работали 45 мин=0,75 ч и выполнили (1/х + 1/(х+1)) * 0,75 часть работы. Второй за 2ч 15 мин=2,25 ч выполнил 1/(х+1)*2,25 часть работы. Составим и решим уравнение:
(1/х + 1/(х+1)) * 0,75 + 1/(х+1)*2,25 =1,
4х 2 -11х-3=0,
D=( 13) 2

х1=3 (ч) — понадобится первому,
х2=(11-13):2= -1 не подходит по условию задачи.
1) 3+1=4 (ч) — понадобится второму.
Ответ: 3 часа, 4 часа.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Два экскаватора различной мощности роют котлован. Работая отдельно, первый может вырыть котлован за 5 дней, второй — за 7 дней. За сколько дней они выроют котлован, работая совместно? Выберите правильное значение:

1) (7+5):2; 2) 1: (7+5); 3) 1: (1/7+1/5).

2. Одна из труб может наполнить бассейн за 3 ч, вторая — за 5 ч. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть сразу две трубы? Запишите выражение для решения задачи.

3. Два экскаватора роют траншею. Работая отдельно, первый может вырыть траншею за 10 дней, второй — за 16 дней. За сколько дней они выроют траншею, работая совместно?

4. Водоем заполняется первой трубой за 5 ч, а второй трубой за 4 ч. За сколько часов наполнится водоем, если будут одновременно работать две трубы?

5. Две наборщицы должны были набрать по 120 страниц каждая. Вторая наборщица набирала за 1 ч на 5 страниц мень­ше, чем первая, поэтому закончила работу на 2 ч позже. Сколько страниц в час набирала первая наборщица?

6. Две бригады рабочих должны по плану изготовить 240 деталей. Первая бригада работала 6 ч, а вторая — 5 ч. Сколь­ко деталей в час изготавливала каждая бригада, если первая делала на 4 детали в час меньше, чем вторая?

7. По плану колхоз каждый день должен был засевать по 20 га. Начав сев, колхоз ежедневно засевал на 5 га больше, чем было предусмотрено планом, поэтому сев был закончен на 2 дня раньше срока. Определите засеянную площадь.

8. Два каменщика сложили стену за 20 дней. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них в отдельности, если из­вестно, что первому пришлось бы работать на 9 дней больше, чем второму?

9. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала в те­чение 4 ч работали три крана одинаковой мощности, затем к ним присоединились еще два крана большей мощности, и через 3 ч после этого загрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы закончена за 6 ч. За какое время выполнят погрузку один кран меньшей мощности и один кран большей мощности, работая вместе?

10. Вода из трех кранов заполнила резервуар за 12 минут, причем пер­вый кран был открыт 4 минуты, и за это время было заполнено 40 % резервуара. За сколько минут заполнил бы резервуар каждый кран, если известно, что второй кран за 5 минут наливает столько воды, сколько третий кран за 6 минут?

Источник: mathembs.blogspot.com

Задачи 11 из ЕГЭ. Совместная работа

Сначала рассмотрим простые задачи на совместную работу с двумя участниками. Далее указан год сборника заданий для подготовки к ЕГЭ, откуда взята задача. Начнём с подготовительной задачи.

Задача 1. Валя пропалывает грядку за 40 минут, а Галя — за 10 минут. За сколько минут Валя и Галя пропалывают грядку при совместной работе?

II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут. За это время Валя прополола 1 грядку.

1) 40: 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,

2) 1 + 4 = 5 (грядок) — пропололи за 40 минут Валя и Галя при совместной работе,

3) 40: 5 = 8 (мин) — время прополки одной грядки при совместной работе Вали и Гали.

III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя пропалывает 40: 40 = 1 (м/мин), а Галя — 40: 10 = 4 (м/мин). Валя и Галя при совместной работе пропалывают 1 + 4 = 5 (м/мин). Вдвоём они прополют грядку за

Ответ. За 8 мин.

Замечание. I способ даёт нам полное решение, не зависящее от времени работы или длины грядки. II и III способы решения даны для частных случаев (можно было взять другое время работы или другую длину грядки). Полное решение получится, если мы докажем, что ответ не зависит от выбора дополнительного условия.

Так как на экзамене нужно указать лишь правильный ответ, то II и III способы вполне можно применять. Чтобы обосновать III-й способ решения, можно обозначить объём работы (длину грядки) буквой и фактически повторить I-й способ решения.

Задача 2. (2018) Валя и Галя пропалывают грядку 8 минут, а одна Галя — за 10 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя?

II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут. За это время они вдвоём пропололи:

1) 40: 8 = 5 (грядок),

2) 40: 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,

3) 5 — 4 = 1 (грядку) — прополола за 40 минут Валя.

Значит, одна Валя пропалывает грядку за 40 минут.

III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя и Галя при совместной работе пропалывали 40: 8 = 5 (м/мин), а одна Галя — 40: 10 = 4 (м/мин). Тогда одна Валя пропалывала 5 — 4 = 1 (м/мин). На всю грядку Вале требуется 40: 1 = 40 (мин).

Ответ. За 40 мин.

Задача 3. Через первый кран бассейн наполнится за 40 минут, через второй — за 60 минут, через третий — за 48 минут. За сколько минут три крана заполнят бассейн при совместной работе?

Решение. Примем всю работу за 1.

Есть ещё один способ решения, похожий на способ решения задачи про кадь кваса.

Пусть трубы могут одновременно наполнять несколько бассейнов. За 240 минут первая труба наполнит 6, вторая 4, третья 5 бассейнов, а вместе — 15 бассейнов. При совместной работе три трубы тратят на 1 бассейн

Задача 4. (2018) Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 ч. Через 5 ч после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ?

Решение. I способ. Примем всю работу за 1.

II способ. Пусть надо было обточить 30 деталей.

1) 30: 15 = 2 (дет.) — обтачивает один рабочий за 1 ч,

2) 2 + 2 = 4 (дет.) — обтачивают два рабочих за 1 ч совместной работы,

3) 2 ∙ 5 = 10 (дет.) — обточил один рабочий за 5 ч,

4) 30 — 10 = 20 (дет.) — обточили два рабочих при совместной работе,

5) 20: 4 = 5 (ч) — работали два рабочих вместе,

6) 5 + 5 = 10 (ч) — время выполнения всего заказа.

Ответ. За 10 ч.

Задача 5. (2018) Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй — 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа выполнили одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Для решения задач, где все работники имеют одинаковую производительность труда, удобно применять единицу измерения объёма работы «человеко-день». Например, 10 чел. ∙ дней — это объём работы, который может выполнить 1 человек за 10 дней, или 5 человек за 2 дня, или 2 человека за 5 дней.

Решение. I способ. Примем всю работу за 1.

1) 12 ∙ 10 = 120 (человеко-дней) — объём работы, выполненной 12-ю рабочими первой бригады за 10 дней,

2) 21 ∙ 10 = 210 (человеко-дней) — объём работы, выполненной 21-им рабочим второй бригады за 10 дней,

3) 210 — 120 = 90 (человеко-дней) — объём работы второй бригады, который предстоит компенсировать первой бригаде после перехода 12 рабочих,

4) 12 + 12 — (21 — 12) = 15 (чел.) — на столько рабочих стало в первой бригаде больше, чем во второй,

5) 90: 15 = 6 (дней) — потребуется первой бригаде, чтобы наверстать отставание в объёме работы,

6) 10 + 6 = 16 (дней) — время выполнения двух заказов.

II способ. Пусть после перехода 12 рабочих бригады работали ещё x дней. Приравняем объёмы выполненной работы (в человеко-днях) двух бригад за всё время работы.

12 ∙ 10 + (12 + 12)x = 21 ∙ 10 + (21 — 12)x.

Это уравнение имеет единственный корень 6, поэтому время выполнения двух заказов равно 10 + 6 = 16 (дней).

Ответ. 16 дней.

Замечание. При решении этой задачи можно обойтись без человеко-дней, если считать, что каждый рабочий в час выполняет y единиц работы (обтачивает y деталей и т. п.). Тогда, рассуждая, как во втором способе решения, приравняем объемы работы двух бригад:

12 ∙ 10y + (12 + 12)xy = 21 ∙ 10y + (21 — 12)xy.

Разделив это уравнение на число y, отличное от нуля, получим то же уравнение, что и при II-м способе решения задачи.

Задача 6. (2018) Игорь и Паша красят забор за 12 часов. Паша и Володя красят тот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь — за 20 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

II способ. Пусть было два Игоря, два Паши и два Володи. Мальчики с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью. Пусть они вшестером одновременно красят заборы 60 ч. За это время Игорь и Паша покрасят 60: 12 = 5 (заборов), Паша и Володя — 60: 15 = 4 (забора), а Володя и Игорь — 60: 20 = 3 (забора). Шесть мальчиков за 60 ч покрасят 5 + 4 + 3 = 12 (заборов), на 1 забор они тратят 60: 12 = 5 (ч), три мальчика тратят на забор в 2 раза больше времени — 10 ч.

Ответ. За 10 ч.

В следующей задаче нет совместной работы, но она решается похожим арифметическим способом.

Задача 7. (2018) Костя и Гриша выполняют одинаковый тест. Костя отвечает за час на 12 вопросов, а Гриша — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Костя закончил свой тест позже Гриши на 90 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение. I способ.

1) 60: 12 = 5 (мин) — тратит на 1 вопрос Костя,

2) 60: 20 = 3 (мин) — тратит на 1 вопрос Гриша,

3) 5 — 3 = 2 (мин) — на каждый вопрос Костя тратит на 2 мин больше, чем Гриша, а всего он потратил на 90 мин больше,

4) 90: 2 = 45 (вопросов) — в тесте.

II способ. Пусть в тесте было x вопросов.

1) 60: 12 = 5 (мин) — Костя тратит на 1 вопрос, значит, 5x минут тратит на все вопросы,

2) 60: 20 = 3 (мин) — Гриша тратит на 1 вопрос, значит, 3x минут тратит на все вопросы.

5x — 3x = 90,

В тесте 45 вопросов.

Задача 8. (2009) Два плотника, работая вместе, могут выполнить задание за 36 ч. Производительности труда первого и второго плотников относятся как 3: 4. Плотники договорились работать поочерёдно. Какую часть этого задания должен выполнить второй плотник, чтобы всё задание было выполнено за 69,3 ч?

Решение. I способ. Примем всю работу за 1.

Пусть первый выполнил часть работы, выражаемую дробью x, тогда второй — часть работы, выражаемую дробью 1 — x, они затратили 84x ч и 63(1 — x) ч соответственно при поочерёдной работе, а всего — 69,3 ч. Составим уравнение:

84x + 63(1 — x) = 69,3.

Это уравнение имеет единственный корень x = 0,3. Первый выполнил 0,3 работы, второй — 1 — x = 0,7.

Для самостоятельного решения

9. Малыш может съесть все плюшки за 20 минут, а Карлсон — за 5 минут. За сколько минут они съедят все плюшки вместе?

10. Две бригады при совместной работе выполнят задание за 14 дней. Одна первая бригада могла бы выполнить это задание за 21 день. За сколько дней одна вторая бригада могла бы выполнить это задание?

11. Три трубы заполнили бассейн при совместной работе за 15 минут. Одна первая труба наполнит бассейн за 35 минут, а одна вторая — за 63 минуты. За сколько минут одна третья труба заполнит бассейн?

12. (2018) Коля и Митя выполняют одинаковый тест. Коля отвечает за час на 12 вопросов, а Митя — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Коля закончил свой тест позже Мити на 105 минут. Сколько вопросов содержит тест?

13. (2009) Два каменщика, работая вместе, могут выполнить задание за 12 ч. Производительности труда первого и второго каменщиков относятся как 1: 3. Каменщики договорились работать поочерёдно. Сколько часов должен проработать первый, чтобы это задание было выполнено за 20 ч?

14. (2009) Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность труда отца в 2 раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать огород за 4 ч. Однако вместе они проработали только 1 час, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу уже один отец. Сколько часов в общей сложности проработал в огороде отец, если вся работа была выполнена за 7 часов?

15. (2019) Первый и второй насосы наполняют бассейн за 21 минуту, второй и третий — за 28 минут, первый и третий — за 36 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

16. (2018) Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь — за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Ответы. 9. За 4 мин. 10. За 42 дня. 11. За 45 мин. 12. 49 ч. 13. 6 ч. 14. 4 ч. 15.

За 18 мин. 16. За 16 ч.

Для работы с классом можно использовать презентацию:

Источник: mel.fm

Задачи на работу в ЕГЭ 2019. Примеры с решением

Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.

Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа и следовать трем простым шагам.

1. Формула, которую обязан знать каждый
2. Как решать задачи на работу: основные правила
3. Решение задачи на работу: 3 простых шага
4. Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
5. Пример решения задачи на совместную работу – 2 способа

Формула, которую обязан знать каждый

Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу:Работа – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.

Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.

Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.

Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время:

Как решать задачи на работу: основные правила

При решении задач на работу нужно знать следующие правила:

1. Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
2. Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
3. За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность

Решение задачи на работу: 3 простых шага

Решение задачи на работу сводится к трем шагам:

1. Задаем переменную Х и составляем таблицу
2. Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
3. Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ

Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.

Примеры решения задач на работу: от простого к сложному

Задача 1

Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого. Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность.2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа. Следовательно, получаем следующее равенство: Решаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:

120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х

120х – 360 + 2х 2 – 6х – 120х =0

2х 2 – 6х – 360 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

х 2 – 3х – 180 = 0

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час

Задача 2

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.

1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: Теперь решаем два уравнения: Решаем первое уравнение:

180х – 120х = 180

Решаем второе уравнение:

180х – 120х = -180

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.

Ответ: 3 литра в минуту

Задача 3

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.

1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно: Решаем полученное уравнение:

300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)

300х – 3х 2 + 15х – 300х + 1500 = 0

-3х 2 + 15х + 1500 = 0

Делим обе части уравнения на -3:

х 2 — 5х — 500 = 0

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).

Подставляем полученное значение Х:

Подставляем х1: 25 – 5 = 20

Подставляем х2: -20 – 5 = -25

Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.

Ответ: 20 литров в минуту.

Примеры решения задачи на совместную работу

Задача 4

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.

Решение. Способ 1:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15. Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х.

Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы. Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:

2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15: Решаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.

Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.

Решение. Способ 2:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х1, а производительность второго рабочего – за х2. Следовательно, их общая производительность равна х1 + х2. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х1 + х2) = 1.

Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х1), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х2). Таким образом:

4х1 = 5х2

2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения: Из второго уравнения выразим х1 = 5х2 / 4 и подставим в первое уравнение:

Умножаем обе части уравнения на 4:

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х1. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х1. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий: Ответ: 27 часов.

Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.

Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь. Еще больше материалов по подготовке к ЕГЭ

Источник: yourrepetitor.ru