Что значит р х

В работе доказываются теоремы о представлении функций из пространств Харди , и ограниченность оператора Римана-Лиувилля в пространстве Re.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Фам Тиен Зунг

Задача Гильберта для голоморфных функций в классах Смирнова в области с радоновской границей
О j-РЯДАХ Шлемильха
Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина Пуассона
Обращение преобразования Радона-Киприянова радиальных функций
Разностные и дискретные уравнения на прямой и полупрямой
i Не можете найти то, что вам нужно?

Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Representation theorems for functions from the Hardy spaces, and the boundedness of the Riemann-Liouville operator in Re are proved.

Текст научной работы на тему «О пространствах Харди»

О пространствах Харди Тиен Зунг Фам

Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

01. Что такое функция в математике

В работе доказываются теоремы о представлении функций из пространств Харди Нр, 1 < р ^ 2 и ограниченность оператора Римана—Лиувилля в пространстве И,е Н1.

Ключевые слова: пространство Харди, оператор Римана—Лиувилля.

Пусть К := (ж, ж), := [0, ж). Пространство Лебега ЬР(Ш) состоит из всех измеримых функций на К таких, что ||/||ьр(к) := (|/(х)1Р<х) р < ж. Аналогично определяется пространство Ьр (М+).

||Р||яр :=8ИР ( / |Р(х + iу)1Р

||РИНР = у™0 (/ |Р(х + *у)1Р

и Р(х + гу) при у ^ 0 сходится почти всюду к /(х) + г/(х), где функции /(х) и /(х) принадлежат ЬР(Ж), причём /(х) является преобразованием Гильберта функции /(х). Обратно, для функций вида ¡(х)+ г/(х), где /(х) € ЬР(Ж) и /(х) -преобразование Гильберта /, существует Р € Нр такая, что функция /(х) + г/(х) почти всюду совпадает с предельными значениями Р(х + 1у) на К при у ^ 0 [2, Теорема 103]; [1, Глава 2].

г , , 2 ё [ л. . яш хЛ , — . . 2 ё — аъ ] х — т

т.е /с (/з) — это косинус-преобразование (синус-преобразование) Фурье функции /. Мы будем называть пару (а, Ь) функций а(1) и Ь(1) С ¿’-парой преобразований Фурье, если существует функция / € Ьр(Ж),р € (1,2] такая, что для почти всех 1 ^ 0 справедливы равенства

В работе [3] мы показали, что если / е Ьр(М+), 1 < р < 2, а >1/р’, р’ = , то почти всюду на справедливы равенства

Ва( ¡с)(х) = НМ)с(х), Ва( ¡а)(х) = На(М(х), (4)

где операторы Римана-Лиувилля Ва(/) и На(/)(х) имеют вид

Ва(Л(х) ¡(х — ^а~1 кт, х > 0, а > 0,

На(Л(х) := ] -, х > 0, а > 0.

В настоящей работе мы рассматриваем задачу о представлении функций из пространств Нр с помощью СБ-пар преобразований Фурье (Теоремы 1 и 2), а также доказываем ограниченность оператора Римана-Лиувилля На в пространстве Ке Н1 (Теорема 3). Теоремы 1-3 дополняют работу Б.И. Голубова [4].

7 класс, 36 урок, Что означает в математике запись y = f(х)

2. Основные результаты

Теорема 1. Пары (а, Ь) и (—Ь,а) одновременно являются СБ-парами преобразований Фурье тогда и только тогда, когда существует Р(х) е Нр, ре (1,2], такая, что

Р(г) = У (а(г) — ъЬ(г)) ешсИ, 1т г > 0. (5)

Доказательство. Необходимость. Пусть (а, Ь) и (—Ь,а) одновременно являются СБ-парами преобразований Фурье, тогда существует /(х) и д(х) е ЬР(Ж), р е (1, 2] такие что, для почти всех £ > 0 а(1) = Ь(£) = /3(£) и —Ь(1) = дс(£),

Пусть /(1) — преобразование Фурье функции /(1) в ЬР(Ж), р е (1,2]. Тогда

Пусть к(Ь) равна еггЬ при £ > 0 и равна 0 при I < 0. Тогда

Применение формулы Парсеваля к (5) даёт

откуда следует, что

—Р( г) = (/ *РУ)(х) + г(/ *ЯУ)(х), 1т г > 0, (6)

где г = х + г у и

РУ (х) 2 I 2 , ^У(х) 2 I 2 .

Ф(г) := I (—Ь(г) — ъа($) ешсИ, 1т г > 0.

Аналогично доказательству (6), если —Ь(^ = дс((р) и а(1) = д3(^, то

—Ф(г) = (д *РУ)(х)+г(д )(х), 1т г > 0. Поскольку Ь(1) = ¿3(£) и а(1) = то

—Ф(г) = ( / * Qy)(х) — г(/ * Ру)(х), 1т г > 0. Приравнивая вещественные и мнимые части, находим

( / *QЙ)(х) = (д *РУ)(х) и (/ *РУ)(х) = —(д * Qy)(х). Отсюда и из (6) вытекает, что

—Р(г) = (/ *РУ)(х) + г(д * Ру)(х), откуда при фиксированном > 0 находим

Это значит, что Р(г) € Нр.

Достаточность. Пусть Р(г) € Нр, р € (1,2] и

(а(г) —гЪ(г), 0, и(€) = , К ъ.

Покажем, что Н(1)е 1у есть трансформация Фурье функции Р(х + гу), т.е.

К*)е~1у = ^-гг Р(и + гу)-:-«и, 1т (х) > 0. (7)

IР(г)е= IР(а + гу)е~и(а+»у)ау^ Р(и + гУ2)е~и(и+»У2)аи+

+ J F(-a + iy)e-it(-a+iy)dy + j F(u + iyi)e-it(u+iyi)du =: h + I2 + I3 + h = 0.

Докажем, что Д, I3 ^ 0 при a ^ ж.

Пусть Ф £ Hp, Imz > 5 > г > 0. Тогда по формуле Коши и неравенству Гельдера

I Ф( z + reiv)dcp 0

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(2ir)i/p’ i f 2f . 1/P (¿2 1/p

(¿) p j dv J |Ф(и + iv)lpdu . (9)

Известно, что для всех 1 <

Следовательно, правая часть неравенства (9) сходится к нулю, и Ф(-г) ^ 0 при х ^ Поэтому 1з ^ 0 при а ^ то. Отсюда вытекает, что 12 + /4 стремится к нулю при а ^ то в (8). Имеем

Поскольку , У) — , у1)\р’ ^ 0, \уа ^, У2) — ,У2)\Р’ ^ 0 при а ^ то, то существует такая последовательность , что

,Ит Уак ^, У1) = У(г, У1), Ит Уак ^ ,У2) = Ф ,У2), для п.в. г.

у(1, у!)еЬу1 = ф, у2)еЬу2 для п.в. I.

Положив у1 := у; у2 := 1, получим (р(1, у) = е—1уегу(Ь, 1) := е—г Уу^). Для £ > 0, по теореме Лебега о мажорируемой сходимости, имеем

= lim — dt F (u + iy) е-г ut du = lim — F (u + iy)-du =

1 Г — 1 1 Г Г ■ е~ыГ — 1

1 Г Г е~ыГ — 1 ■ Г

= 7Г- И(х)е ~х у Ах -ег и = Ых)е ~х у Ах,

откуда следует, что Ъ,(£)е~ьу = (р^, у) есть преобразование Фурье функции Р (х + гу).

По определению И^), получим

( a(t) — ib(t))e~ty = — — F(u + iy)-:-Au, t > 0

Для F(z) G Нр существует предел почти всюду

lim F(x + iy) = f(x) + if (x),

где f,f — пара преобразований Гильберта. Более того

lim ||F(х + iу) — f(x) — if(x)\ LP = 0. у—>0

Поэтому при у ^ 0 получим

1 d f _ e-iut _ 1

a(t) -ib(t) = — — (f(x)+ if (x))-:-du, п.вЛ > 0,

7Г-Г (f(x) + if (x))-:-d u = 0, п.в. t < 0,

откуда следует, что справедливы равенства

1 d f f(u)sin tu — f(u)cos tu + f(u) , a(t) =——du, п.в., t > 0,

(t) = 1d ff( u)sintu + f( u)co*tu — f( u) du, п.в.; > 0 w 2k dt J u ‘

A f f(u)sin tu — f(u)cos Ы + f(u)

A f f( u) sin tu + f( u) cos tu — f( u) At I u

Поэтому для почти всех t ^ 0

1 A sin u 1 A 1 cos u

а(*) = «37 f(u)-Au, b(t) = — f(u)-Au. (10)

ж At J u ж At J u

Аналогично, для почти всех t ^ 0

w N 1 d [ , sin tu , . . 1 d Г . 1 — cos tu , _,

—W = f(u)-du, a(í) = — f(u)-du. (11)

ж dt j u ж dt j u

Это означает, что пары (a, b) и (—Ь, а) одновременно являются СБ-парами преобразований Фурье. Теорема доказана. □

Теорема 2. Пусть интеграл (5) представляет функцию F(z) е Нр, 1 < р < 2 в верхней полуплоскости Imz >0. Тогда интеграл

Ф(z) = J(A(t) — iB(t))eiz 1 dt, у> 0 (12)

тоже принадлежит Hp, где

t t A(t) = iJ(t — x)a-la(x)dx, B(t) = -^J(t -x)a-1 b(x)dx, и a> 1/p’.

Более того, справедливо неравенство

Доказательство. Если интеграл (5) представляет функцию F(z) £ Hp, р £ (1, 2] в верхней полуплоскости Imz > 0, то справедливы равенства (10) и (11), где f(x) + гf (x) — граничная функция для F(z) на действительной оси, причём f £ Lp(R) и f £ Lp(R). Таким образом, существуют f £ Lp(R) и f £ Lp(R) такие, что (a, b) и (-b, a) является СБ-парами преобразований Фурье. Мы будем обозначать

U(x) = 1(f(x) + f(-x)), f-(x) = 2(f(x) — f(-x)), (14)

т.е. f+ — чётная, а f- — нечётная составляющие функции f. Из равенства (10) и (14) для почти всех t ^ 0

a(t) = fc(t) = (f+)*(t), b(t) = fs(t) = (f-)^(t), (15)

тогда из (4) и (15) следует, что для почти всех t ^ 0

A(t) = [Ha(f+ №t), B(t) = [Ha(f-)tt (t). (16)

Так как (-b, a) также является СБ-парой преобразований Фурье, то для почти всех t ^ 0

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

,, , 1 d Í’ л^тtu 1 d Г ~ 1 — costu

-(t) = ñ dt í(u)—du, a(t) = ñ dt du,

где — преобразование Гильберта функции .

Обозначим д(х) = /(х). Тогда д(х) е Ьр и аналогично (15) и (16) для почти всех t ^ 0

—Ь ® = (д+)Ж а® = (д— )Ж (17)

Известно, что так как f+ — чётная функция, то На(f+) — чётная функция и так как /_ — нечётная функция, то Ha(f_) — нечётная функция. Отсюда следует, что (А, В) является С ¿’-парой преобразований Фурье функции Ha(f) = Ha(f+) + Ha(f_). Аналогично мы получим, что (—В, А) является Сб’-парой преобразований Фурье функции Ha(g) = Ha(д+) + Ha(g_). Так как Haf е Lp и Hag е Lp [5, Теорема 329], то из необходимости теоремы 1 следует, что Ф(-г) е Hр в верхней полуплоскости Imz > 0. По теореме 1 из представления (5) функции F (z) е Hp, р е (1,2] в верхней полуплоскости Im z > 0 вытекают равенства (10). Аналогично, из представления (12) вытекают равенства

A(t) = 0c(t), B(t) = 0a(t), (t > 0),

Отсюда и (16) мы получим

По теореме единственности для преобразований Фурье

почти всюду на R. Отсюда следует равенство

V(t) = Ha( U)(t) + Ha (f.)(t) = Ha(f)(t). Аналогично, получим

Из свойства ограниченности функций Ha е Lp [5, Теорема 329] мы получим

В случае р = 1 мы покажем, что оператор Римана-Лиувилля Haf ограничен в пространстве ReH1, которое состоит из всех функций f(x) е L(R), для которых f е L(R) и

Известно, что пространство Re H1 изоморфно пространству H1 и справедливы неравенства

где f(x)+ i f(x) — граничная функция для функции F(z) е H1 на действительной оси, а константы А > 0, В > 0 не зависят от F.

В следующем утверждении мы дополняем результат Б.И. Голубова [4, Теорема D].

Теорема 3. Пусть интеграл (5) представляет функцию F(z) е Н1 в верхней полуплоскости Imz > 0. Тогда интеграл

Ф( z) = J(A(t) — iB(t))eiz 1 dt, y> 0 (20)

тоже принадлежит Н1, где

t t A(t) = 1J(t — x)a-1a(x)dx, B(t) = 1J(t -x)a-1 b(x)dx, и a> 1/pp.

Более того, справедливы неравенства

||Ф||н (a, p)\F\Нг, \Haf ||яея1 \f\ReHi. (21)

Доказательство. Если интеграл (5) представляет функцию F(z) е Н1 в верхней полуплоскости Im z > 0, то справедливы равенства

a(t) = — í f(u)cos tu du, b(t) = — í f(u)s’m tu du, (22)

—b(t) = — / f(u)cos tu d u, a(t) = 1 í f(u)sin tu du, (23)

где f(x) + if (x) — граничная функция для F(z) на действительной оси, причём f е L(R) и f е L(R) [4, теорема D]. Таким образом, существуют f е L(R) и f е L(R) такие, что (а, Ь) и (—Ь, а) является СБ-парами преобразований Фурье. Мы будем обозначать

f+(x) = 1(f(x) + f(—x)), f-(x) = 1(f(x) — f(—x)), (24)

т.е. f+ — чётная, а f- — нечётная составляющие функции f. Из равенства (22) и (24) для t > 0

a(t) = Ш = (f+)*(t), b(t) = fs(t) = (f-)^(t), (25)

тогда из (4) и (25) следует, что для почти всех t ^ 0

A(t) = [Ha(f+ )]*(t), B(t) = [Ha(f-)tt (t). (26)

Так как (—b, a) также является СБ-парой преобразований Фурье, то для t ^ 0

—b(t) = 1 í f(u)cos tudu, a(t) = 1 í f(u)s’m tudu, ж J ж J

где f — преобразование Гильберта функции f.

Обозначим g(x) = f(x). Тогда g(x) е L(R) и аналогично (25) и (26)) для почти всех t ^ 0

Отсюда следует, что (А, В) является С ¿’-парой преобразований Фурье функции Ha(f) = Ha(f+) + Ha(f-). Аналогично получим, что (—В, А) является С5*-парой преобразований Фурье функции Ha(g) = Ha(д+) + Ha(д-). Так как Haf е L(R) и Hag е L(R) [5, теореме 329], то Ф(-г) е H1 в верхней полуплоскости Imz > 0.

Поскольку (5) представляет функцию F( ) е H1 в верхней полуплоскости Im z > 0 и верны равенства (22), то из представления (20) вытекают равенства

А(1) = фс(1), В(1) = ф8(1), (t > 0),

[Ha(f+)]C(t) = ( 0). По теореме единственности для преобразований Фурье

почти всюду на R. Отсюда следует равенство (p(t) = Ha(f+)(t) + Ha(f-)(t) =

Аналогично, получим 0(t) = Ha(f)(t).

Из свойства ограниченности Ha [5, теореме 329] находим

1. Гарнетт Д. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984.

2. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

3. Pham T. Z. On Bellman-Golubov Theorems for the Riemann-Liouville Operators // J. Funct. Spaces Appl. — 2009. — Т. 7, № 3.

4. Голубов Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литлвуда в пространствах ReH1 и ВМО // Матем. сб. — 1997. — Т. 188, № 7. — С. 93-106.

5. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948.

On Hardy Spaces

Mathematical Analysis and Function Theory Department Peoples Friendship University of Russia Miklukho Maklai str., 6, Moscow 117198, Russia

Key words and phrases: Hardy space, Riemann-Liouville operator.

Источник: cyberleninka.ru

Область определения функции

Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

• « x » называют независимым аргументом функции;
• « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу « у = 2x » подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу « у = 2x » и запишем результаты в таблицу.

Запомните!

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).

Обозначают область определения функции как:

Вернемся к нашей функции « у = 2x » и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции « y = 2x », где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

Запомните!

Областью определения функции называют множество чисел , которые можно подставить вместо « x ».

В нашей функции « у = 2x » вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции « у = 2x » — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции « у = 2x » через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x — любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции « у = 2x ». Так как в функции
« у = 2x » нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности « −∞ » до плюс бесконечности « +∞ ».

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как « x ∈ R ».

Читается « x ∈ R » как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
« x ∈ R » одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

f(x) =

8

x + 5

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =

8

x + 5

».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции « f(x) =

8

x + 5

». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме « −5 ». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число « −5 » отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число « −5 » не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».

Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =

8

x + 5

».

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Разбор примера

Найти область определения функции:

Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
« у = √ 6 − x ». Подкоренное выражение
« 6 − x » должно быть больше или равно нулю.

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число « 6 » отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
« y = √ 6 − x » . Так как число « 6 » входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять квадратная скобка.

Правило для определения области определения функции

Запомните!

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

1. на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
2. подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
2. есть ли корни четной
   степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции « f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

» есть дробь «

1

x 2 − 9

», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac

2a

x1;2 =

−0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9)

2 · 1

x1;2 ≠

−0 ± √ 0 − (−36)

2

x1;2 ≠

± √ 36

2

x1;2 ≠

± 6

2

x1 ≠ 3

x2 ≠ −3

Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

x ≠ −3 x ≠ 3

x ≥ −3

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +

1

x 2 − 9

». Запишем окончательный ответ.

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = 6 √ x + 5 √ 1 + x

Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.

Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.

В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

f(x) =

√ x − 4

√ x + 2

+

4x − 3

x 2 − 7x + 6

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

f(x) =

√ x − 4

√ x + 2

+

4x − 3

x 2 − 7x + 6

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

√ x + 2 ≠ 0

x 2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.

√ x + 2 ≠ 0 (1)

x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

Решаем первое уравнение.

Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.

√ x + 2 ≠ 0 (1)
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac

2a

x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

x1;2 =

−(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6

2 · 1

x1;2 =

7 ± √ 49 − 24

2

x1;2 =

7 ± √ 25

2

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

x ≠ −2

x ≠ 1

x ≠ 6

Знаменатели с « x » мы проверили. Настала очередь проверить формулу функции на наличие корней четной степени .

В формуле функции
« f(x) =

√ x − 4

√ x + 2

+

4x − 3

x 2 − 7x + 6

»

есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.

x − 4 ≥ 0

x + 2 ≥ 0

x − 4 ≥ 0

x + 2 ≥ 0

x ≥ 4

x ≥ −2

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:

1. проверка, что знаменатели
   дробей с « x » не равны нулю;
2. проверка, что подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =

√ x − 4

√ x + 2

+

4x − 3

x 2 − 7x + 6

»
с использованием математических символов.

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

17 декабря 2016 в 18:02

Татьяна Цыганова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Татьяна Цыганова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Найти ОДЗ функции у=?(р1+р2х+x 2 )
Я не могу понять за какое число воспринимать p1, p2
17 декабря 2016 в 19:10
Ответ для Татьяна Цыганова

Евгений Фёдоров Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60

Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60

x 2 + p2x + p1 ? 0.
24 февраля 2016 в 20:29

Влад Алексеев Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Влад Алексеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Постройте график функции y=-

2

x+1

. Укажите область определения функции
25 февраля 2016 в 8:10
Ответ для Влад Алексеев

Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197

Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197

Область определения функции: знаменатель не равен 0.
x+1?0
x?-1
Графиком является гипербола, смещеная влево относительно оси Y.

5 февраля 2018 в 14:30
Ответ для Влад Алексеев

Кирилл Косован Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Кирилл Косован
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

11 февраля 2018 в 15:44
Ответ для Влад Алексеев

Татьяна Мирная Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Татьяна Мирная
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

7 октября 2015 в 21:21

Катерина Яроцкая Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Катерина Яроцкая
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Помогите найти область определения функции

12 сентября 2016 в 15:59
Ответ для Катерина Яроцкая

Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197

Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197

Источник: math-prosto.ru

Размеры одежды – что значат буквы S, L, M, X и как разобраться в размерах раз и навсегда

Разбираемся в размерах и больше никогда их не гуглим.

Дата: 04.12.2020
Время чтения:

Сегодня поговорим о размерах одежды. Начнем сразу с латинских обозначений: S, L, M. S значит «маленький» (small), L – «большой» (large), M – «средний» (medium). Буква X означает «очень» (от слова extra) и всегда приставляется к S, L или M.

Буква X в размере может быть одна, например XS – очень маленький. Может быть две: XXL – очень-очень большой, три: XXXL.

Если букв X несколько, их для удобства заменяют на B (бинарный, двойной). B – это XX. Поэтому BXL – это XXXL, BXXL – XXXXL, BXXXL – XXXXXL.

Соотношение европейских размеров одежды с нашими

Вот как мужские европейские размеры соотносятся с российскими:

1. XS – 44.
2. S – 46.
3. M – 48.
4. L – 50.
5. XL – 52.
6. XXL – 54 и 56.
7. XXXL – 58 и 60.

А вот женские размеры:

1. XS – 42.
2. S – 44.
3. M – 46.
4. L – 48.
5. XL – 50.
6. XXL – 52.
7. XXXL – 54.
8. BXL – 56.
9. BXXL – 58.
10. BXXXL – 60.

Не могу понять, почему это у женщин все так точно, на каждую букву свой размер, а у нас значит XXL может быть и 54, и 56, XXXL – и 58, и 60.

Размер одежды и рост человека

Вот соотношение размеров и роста (в сантиметрах) для мужской одежды:

1. S – 170.
2. M – 176.
3. L – 182.
4. XL – 188.
5. XXL – 188.

Расшифровка значков для стирки на одежде — все варианты с картинками и подробным описанием
Не знаю, как вы, а я редко смотрю на ярлычки.

Соотношение для женщин:

1. XS – 164.
2. S – 164.
3. M – 170.
4. L – 170.
5. XL – 174.

Когда выбираете брюки, там указывается размер и через дробь – рост. Но в случае со мной это почему-то не прокатывает и я на рост с этикетки почти никогда не смотрю, он может быть сантиметров на 5 больше или меньше моего роста, при этом брюки/джинсы мне подходят, я их покупаю.

Размеры варежек и шапок

Буквы на варежках соответствуют обхвату вашей ладони, при этом большой палец в обхват не входит. Вряд ли вы будете мерить себя, проще пойти в магазин и сразу подобрать перчатки, которые будут «в пору». Но все же вот размеры для мужчин (обхват измеряется в сантиметрах):

1. M – 21-22.
2. L – 23-24.
3. XL – 25-26.

1. S – 17-18.
2. M – 19-20.
3. L – 21-22.
4. XL – 23-24.

Размеры детских шапочек и варежек

Здесь интересно то, что дети относительно похожи друг на друга и размеры их головных уборов и варежек зависят от возраста. Поэтому я привожу буквенные обозначения и средний возраст, которому они соответствуют:

1. XXS – до 3 месяцев.
2. XS – от 3 месяцев до полугода.
3. S – полгода – полтора года.
4. M – полтора – 3 года.
5. L – 3-7 лет.
6. XL – 7-11 лет.
7. XXL – старше 11 лет.

Подбирать шапки маленькому ребенку – это жуткий кошмар, потому что ему сразу жарко, ему не нравится, что кто-то что-то на него надевает, он начинать кричать на весь магазин, в результате мама и папа на взводе. Так что берите обозначения размеров на заметку.

Когда подбираете сыну или дочери варежки, размеры M и L подойдут для возраста 3-7 лет, XL – для 7-11, XXL – для тех, кто старше 11 лет.

Покритикуйте, если что не так

Дорогие женщины, я старался писать эту статью в первую очередь для вас и вроде собрал в ней все то, что нужно. Если я что-то напутал или недосказал – покритикуйте текст комментариях, я сразу внесу правки.

Табличная форма мне показалась не очень удобной, поэтому сделал всё списками. Плюс, у нас большая аудитория с мобильных устройств, там эти таблицы всегда съезжают и отображаются не пойми как.

Всем спасибо и удачных вам покупок.

Источник: vsvoemdome.ru