Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.
Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N ). Тогда, в разумном приближении,
прирост населения = число рождений — число смертей
(Здесь r — так называемый коэффициент пропорциональности , который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)
Пусть dN — число особей, добавившихся к популяции за время dt , тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если
dN = rN dt
После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным .) Вот его решение:
N = N 0 e rt
где N 0 — число особей в популяции на начало отсчета, а t — время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция .
Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.
Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее.
Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!
Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:
dN = rN (1 — (N /K )) dt
Когда N намного меньше K , членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K , значение 1 — (N /K ) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая , логистическое уравнение , уравнение Вольтерры , уравнение Лотки—Вольтерры . (Вито Вольте рра, 1860-1940 — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880-1949 — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.
Экспонента — это число, показывающее, сколько раз какая-то величина должна быть умножена сама на себя. Например, если экспонента равна 3, а величина 4, то выражение 4 3 означает 4 х 4×4, что составит 64. Математическое выражение у 2 означает у ху , ачисло 2 — это экспонента.
Чем экспоненциальный рост отличается от линейного? При линейном росте величина увеличивается на каждом этапе на одно и то оке, а не на кратное число. Если мой стартовый капитал составляет 1000 долларов и каждый год увеличивается на 100 долларов, то через 10 лет я его удвою и буду иметь 2000 долларов. Вот это и есть линейный рост, на одну и ту же сумму каждый год.
Но если мой стартовый капитал в 1000 долларов каждый год будет увеличиваться на 10 процентов, то через десять лет у меня будет 2594 доллара. Это пример экспоненциального роста с постоянным кратным числом ежегодного увеличения 1,1. Если же я буду продолжать свой бизнес еще 10 лет, то линейный рост даст мне общую сумму 3000 долларов, в то время как экспоненциальный — 6727 долларов.
Любой рынок или бизнес, поддерживающий уровень роста 10 процентов или больше на протяжении длительного периода времени, получит гораздо больший эффект с плане создания стоимости, чем мы интуитивно оцениваем. Некоторые компании- такие как IBM или McDonald»s за период с 1950 по
1985 год или Microsoft в 1990-х годах- сумели обеспечить уровень роста, превышающий 15 процентов в год, и во много раз увеличили свои капиталы. Если вы начнете со 100 долларов и в течение 15 лет будете увеличивать капитал на 15 процентов в год, то в конце у вас будет уже 3292 доллара, то есть почти в 33 раза больше, чем в начале. Незначительное увеличение процента роста приводит к большой разнице в результатах.
К примеру, американский биржевой брокер Уильям О»Нил создал для своих одноклассников фонд и управлял им с 1961 по 1986 год. За это время первоначальные 850 долларов превратились в сумму 51 653 доллара после выплаты всех налогов*. За 25 лет средний рост составил 17,85 процента в год, что выразилось в увеличении первоначальной суммы в 61 раз. Таким образом, мы видим, что если за 25 лет 15-процентный рост увеличивает капитал в 33 раза, то добавление меньше чем 3 процентных пунктов к темпам годового прироста увеличивает результат в 61 раз.
Экспоненциальный рост меняет вещи не только количественно, но и качественно. Например, при быстром росте индустрии — Питер Дрюкер называет цифру 40 процентов за 10 лет — меняется сама ее структура, и на первый план выходят новые лидеры рынка. Быстрому росту рынков способствуют новаторство, отсутствие закономерности, новые продукты, технологии или потребители.
Новаторы по определению ведут дела не так, как все. Новые способы редко уживаются с привычками, идеями, процедурами и структурами существующих фирм. Новаторы нередко получают возможность снимать пенки на протяжении нескольких лет, пока традиционные лидеры не решат пойти в контратаку, но тогда может быть уже поздно.
Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.
Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.
Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,
прирост населения = число рождений — число смертей
(Здесь r — так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)
Пусть dN — число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если
После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:
где N 0 — число особей в популяции на начало отсчета, а t — время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.
Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.
Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее.
Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!
Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:
Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 — (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка-Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.
Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.
Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.
Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его ) . Тогда, в разумном приближении,
прирост населения = число рождений — число смертей
или
(Здесь — так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)
Пусть — число особей, добавившихся к популяции за время , тогда если в популяции в общей сложности особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если
После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:
где — число особей в популяции на начало отсчета, а — время, прошедшее с этого момента. Символ обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.
Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.
Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее.
Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!
Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:
Когда намного меньше , членом можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда приближается к своему максимальному значению , значение стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая , логистическое уравнение, уравнение Вольтерры, уравнение Лотки-Вольтерры. (Вито Вольтерра, 1860–1940 — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880–1949 — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.
Отношения между хищниками и их жертвами развиваются циклически, являясь иллюстрацией нейтрального равновесия.
Иногда простая математическая модель хорошо описывает сложную биологическую систему. Примером этого служат долговременные отношения между видами хищника и жертвы в какой-либо экосистеме. Математические расчеты роста популяции отдельно взятого вида (см. выше) показывают, что пределы плотности популяции можно описать простыми уравнениями, которые на выходе дают характерную S-образную кривую. Это — кривая численности популяции, которая растет экспоненциально, пока она небольшая, а затем выравнивается, когда она достигает пределов возможности экосистемы поддерживать ее. Простое продолжение этой концепции позволяет нам понять экосистему, в которой взаимодействуют два вида — хищник и жертва.
Итак, если число растительноядных жертв , а число плотоядных хищников , то вероятность, что хищник встретится с травоядным, пропорциональна произведению . Другими словами, чем выше численность одного из видов, тем выше вероятность таких встреч. В отсутствие хищников популяция жертвы будет расти экспоненциально (по крайне мере вначале), а в отсутствие жертв популяция хищника сократится до нуля — либо из-за голода, либо в результате миграции. Теперь, если — изменение популяции растительноядных за время , а изменение популяции плотоядных за тот же интервал времени, то две популяции описываются уравнениями:
Здесь — скорость роста численности травоядных в отсутствие хищников, а — скорость сокращения численности плотоядных в отсутствие травоядных. Постоянные и — скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, и скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции. Знак минус в первом уравнении показывает, что встречи сокращают популяцию жертвы, а знак плюс во втором говорит о том, что встречи увеличивают популяцию хищника. Как видите, любое изменение численности травоядных влияет на численность плотоядных, и наоборот. Две популяции необходимо рассматривать вместе.
Решение этих уравнений показывает, что обе популяции развиваются циклически. Если популяция травоядных увеличивается, вероятность встреч хищник-жертва возрастает, и, соответственно (после некоторой временной задержки), растет популяция хищников. Но рост популяции хищников приводит к сокращению популяции травоядных (также после некоторой задержки), что ведет к снижению численности потомства хищников, а это повышает число травоядных и так далее. Эти две популяции как бы танцуют вальс во времени — когда изменяется одна из них, за ней следом изменяется и другая.
Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».
Джеймс Трефил — профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.
Когда снежный ком катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет.
Математики и физики очень любят описывать мир при помощи чисел. А еще больше — при помощи функций. Функция — это правило, по которому одному числу (например, x ) ставится в соответствие другое (например y ). Функции бывают простые, вроде y=10x или y=x 2 , а бывают посложнее вроде y=10*sin(7×2+3x-9) . Если вместо x и y подставить определенные физические параметры и найти функцию, которая их связывает, то получится закон природы.
Еще у функций есть производная. Это — скорость изменения функции. То есть то, насколько изменится y при небольшом изменении x . Например, в случае функции y=10x производная всегда постоянная: y всегда будет расти в 10 раз быстрее, чем x . А в случае функции y=x 2 производная будет меняться. Если мы увеличим x c 0 до 1, то y тоже увеличится с 0 до 1. А если увеличим x с 1 до 2, то y увеличится с 1 до 4. То есть, производная с ростом x увеличилась.
Экспонентой называется функция y=e x , где e — хитрое математическое число, которое примерно равно 2,72. Она обладает замечательным свойством: ее производная равна ей самой. То есть, если расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента, то и его скорость выражается той же самой экспонентой.
Это свойство очень помогает математикам решать разные дифференциальные уравнения. Они очень любят с ней работать и стараются разные другие функции путем сдвига, растяжения, или переворачивания графика превратить в экспоненту. Все такие функции можно назвать экспоненциальными.
У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет. Экспоненциальные функции окружают нас повсюду.
Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс.
А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x . Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост — и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.
Бывает, что обратная связь отрицательная: чем больше результат, тем медленнее идет процесс. Например, когда мы голодны, мы начинаем быстро поглощать еду, но как только чувство голода уменьшается, мы начинаем есть спокойно, потом лениво доедаем десерт. Чай остывает тоже по экспоненте: чем больше разность температур между чаем и воздухом, тем быстрее он остывает. Так что, если вам надо срочно отвлечься на 15 минут, а горячего чаю выпить хочется — налейте в него холодного молока или воды. Тогда разница температур уменьшится, и чай не остынет так быстро, как если бы он был горячим.
Чем быстрее движется струна гитары, тем быстрее она тормозится о воздух, поэтому громкость звука после дерганья за струну экспоненциально уменьшается. Еще один пример — ядерный распад. Каждое ядро может распасться в случайный момент времени, но чем ядер больше, тем больше распадов будет происходить за одну минуту. Чем быстрее ядра распадаются, тем меньше их становится, а значит и интенсивность радиации со временем падает.
Источник: tltaudit.ru
Экспоненциальный рост — Exponential growth
График показывает, как экспоненциальный рост (зеленый) превосходит линейный (красный) и кубический (синий) рост.
Экспоненциальный рост
Экспоненциальный рост это особый способ увеличения количества со временем. Возникает при мгновенном скорость изменения (это производная ) величины по времени равна пропорциональный к самому количеству.
Описывается как функция экспоненциально растущая величина экспоненциальная функция времени, то есть переменной, представляющей время, является показатель степени (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Если коэффициент пропорциональности отрицательный, то величина со временем уменьшается и, как говорят, подвергается экспоненциальный спад вместо. В случае дискретного домен определения с равными интервалами, его также называют геометрический рост или геометрический распад поскольку значения функции образуют геометрическая прогрессия.
Формула экспоненциального роста переменной Икс по темпам роста р, как время т происходит в дискретных интервалах (то есть в целые числа, умноженные на 0, 1, 2, 3, . ), является Икс т = Икс 0 ( 1 + р ) т < displaystyle x_ = x_ (1 + r) ^ > где Икс0 это ценность Икс в момент времени 0. Рост бактериальный колония часто используется для иллюстрации. Одна бактерия распадается на две, каждая из которых разделяется на четыре, затем восемь, 16, 32 и так далее. Скорость увеличения продолжает расти, потому что она пропорциональна постоянно растущему количеству бактерий. Подобный рост наблюдается в реальной деятельности или явлениях, таких как распространение вирусной инфекции, рост долга из-за сложные проценты, и распространение вирусные видео. В реальных случаях начальный экспоненциальный рост часто не длится вечно, вместо этого он в конечном итоге замедляется из-за верхних пределов, вызванных внешними факторами и превращаясь в логистический рост.
- 1 Примеры
- 1.1 Биология
- 1.2 Физика
- 1.3 Экономика
- 1.4 Финансы
- 1.5 Информатика
- 1.6 Интернет-феномены
- 6.1 Логистический рост
- 8.1 Рис на шахматной доске
- 8.2 Водяная лилия
- 10.1 Источники
Примеры
Бактерии демонстрируют экспоненциальный рост при оптимальных условиях.
Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( август 2013 ) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)
Биология
- Количество микроорганизмы в культура будет увеличиваться экспоненциально, пока не будут исчерпаны необходимые питательные вещества. Обычно первый организм раскол на два дочерних организма, каждый из которых затем разделился на четыре, а кто — на восемь, и так далее. Поскольку экспоненциальный рост указывает на постоянную скорость роста, часто предполагается, что экспоненциально растущие клетки находятся в стабильном состоянии. Однако клетки могут расти экспоненциально с постоянной скоростью, изменяя свой метаболизм и экспрессию генов. [1]
- Вирус (например COVID-19, или же оспа ) обычно сначала будет распространяться экспоненциально, если не будет искусственных иммунизация доступен. Каждый зараженный человек может заразить несколько новых людей.
Физика
- Лавина в пределах диэлектрик материал. Бесплатный электрон становится достаточно ускоренным за счет внешнего применения электрическое поле что он освобождает дополнительные электроны при столкновении с атомы или молекулы диэлектрических сред. Эти вторичный электроны также ускоряются, создавая большее количество свободных электронов. Результирующий экспоненциальный рост электронов и ионов может быстро привести к полному пробой диэлектрика материала.
- Ядерная цепная реакция (концепция, лежащая в основе ядерные реакторы и ядерное оружие ). Каждый уранядро что проходит деление производит несколько нейтроны, каждый из которых может быть поглощен соседними атомами урана, заставляя их, в свою очередь, делиться. Если вероятность поглощения нейтронов превышает вероятность выхода нейтрона (a функция из форма и масса урана), k > 0, и поэтому скорость образования нейтронов и индуцированного деления урана увеличивается экспоненциально в неконтролируемой реакции. «Из-за экспоненциальной скорости роста в любой момент цепной реакции 99% энергии будет высвобождено за последние 4,6 поколения. Это разумное приближение, если рассматривать первые 53 поколения как латентный период, ведущий к настоящий взрыв, который занимает всего 3–4 поколения ». [2]
- Положительный отзыв в линейном диапазоне электрических или электроакустических усиление может привести к экспоненциальному росту усиленного сигнала, хотя резонанс эффекты могут благоприятствовать некоторым составляющие частоты сигнала над другими.
Экономика
- Экономический рост выражается в процентах, что означает экспоненциальный рост.
Финансы
- Сложные проценты при постоянной процентной ставке обеспечивает экспоненциальный рост капитала. [3] Смотрите также правило 72.
- Схемы пирамид или Схемы Понци также демонстрируют этот тип роста, приводящий к высокой прибыли для нескольких первоначальных инвесторов и убыткам для большого числа инвесторов.
Информатика
- Вычислительная мощность компьютеров. Смотрите также Закон Мура и технологическая особенность. (При экспоненциальном росте нет сингулярностей. Сингулярность здесь — метафора, призванная передать невообразимое будущее. Связь этой гипотетической концепции с экспоненциальным ростом наиболее громко выражается футуристами. Рэй Курцвейл.)
- В теория сложности вычислений компьютерные алгоритмы экспоненциальной сложности требуют экспоненциально увеличивающегося количества ресурсов (например, времени, памяти компьютера) только для постоянного увеличения размера задачи. Итак, для алгоритма временной сложности 2 Икс , если проблема размера Икс = 10 требуется 10 секунд для завершения, и проблема размера Икс = 11 требуется 20 секунд, тогда проблема размера Икс = 12 потребуется 40 секунд. Этот вид алгоритма обычно становится непригодным для использования при очень малых размерах задач, часто от 30 до 100 элементов (большинство компьютерных алгоритмов должны иметь возможность решать гораздо более крупные проблемы, до десятков тысяч или даже миллионов элементов в разумные сроки, что быть физически невозможно с экспоненциальным алгоритмом). Кроме того, эффекты Закон Мура не сильно помогают ситуации, потому что удвоение скорости процессора просто позволяет увеличить размер проблемы на константу. Например. если медленный процессор может решить проблемы размера Икс во время т, то процессор в два раза быстрее может решать только задачи размера Икс + постоянная в то же время т. Таким образом, экспоненциально сложные алгоритмы чаще всего непрактичны, и поиск более эффективных алгоритмов является сегодня одной из центральных целей информатики.
Интернет-феномены
- Интернет-контент, например интернет-мемы или ролики, может распространяться экспоненциально, часто говорят: «стать вирусным «как аналог распространения вирусов. [4] С такими СМИ, как социальные сети, один человек может пересылать один и тот же контент множеству людей одновременно, а те затем распространяют его еще большему количеству людей и так далее, вызывая быстрое распространение. [5] Например, видео гангам стайл был загружен в YouTube 15 июля 2012 года, его просмотрели сотни тысяч зрителей в первый день, миллионы — в двадцатый день, а в совокупности его посмотрели сотни миллионов человек менее чем за два месяца. [4][6]
Основная формула
Количество Икс экспоненциально зависит от времени т если
где постоянная а начальное значение Икс,
постоянная б положительный фактор роста, а τ это постоянная времени — время, необходимое для Икс увеличить в один раз б:
Икс ( т + τ ) = а ⋅ б т + τ τ = а ⋅ б т τ ⋅ б τ τ = Икс ( т ) ⋅ б . < displaystyle x (t + tau) = a cdot b ^ < frac < tau>> = a cdot b ^ < frac < tau>> cdot b ^ < frac < tau>< tau>> = x (t) cdot b ,.>
Если τ > 0 и б > 1 , тогда Икс имеет экспоненциальный рост. Если τ < 0 и б > 1 , или же τ > 0 и 0 б < 1 , тогда Икс имеет экспоненциальный спад.
Пример: Если количество бактерий удваивается каждые десять минут, начиная с одной бактерии, сколько бактерий будет присутствовать через час? Вопрос подразумевает а = 1, б = 2 и τ = 10 мин.
Икс ( т ) = а ⋅ б т / τ = 1 ⋅ 2 ( 60 мин ) / ( 10 мин ) < displaystyle x (t) = a cdot b ^ = 1 cdot 2 ^ <(60 < text >) / (10 < text >)>> Икс ( 1 час ) = 1 ⋅ 2 6 = 64. < displaystyle x (1 < text >) = 1 cdot 2 ^ = 64.>
Через час или шесть десятиминутных интервалов будет шестьдесят четыре бактерии.
Многие пары (б, τ) из безразмерный неотрицательное число б и количество времени τ (а физическое количество который может быть выражен как произведение количества единиц на единицу времени) представляют одну и ту же скорость роста, причем τ пропорционально бревнуб. Для любых фиксированных б не равно 1 (например, е или 2) темп роста задается ненулевым временем τ. Для любого ненулевого времени τ скорость роста определяется безразмерным положительным числомб.
Таким образом, закон экспоненциального роста может быть записан в различных, но математически эквивалентных формах, используя разные основание. Наиболее распространены следующие формы:
Икс ( т ) = Икс 0 ⋅ е k т = Икс 0 ⋅ е т / τ = Икс 0 ⋅ 2 т / Т = Икс 0 ⋅ ( 1 + р 100 ) т / п , < displaystyle x (t) = x_ cdot e ^ = x_ cdot e ^ = x_ cdot 2 ^ = x_ cdot left (1 + < frac > right) ^ ,>
где Икс0 выражает начальную величину Икс(0).
Параметры (отрицательные в случае экспоненциального спада):
- В постоянная ростаk это частота (количество раз в единицу времени) роста в раз е; в финансах это еще называют логарифмической отдачей, непрерывно начисленная доходность, или же сила интереса.
- В время электронного складыванияτ время, необходимое для роста в раз е.
- В время удвоенияТ время, необходимое для удвоения.
- Увеличение процента р (безразмерное число) за период п.
Количество k, τ, и Т, и для данного п также р, имеют взаимно однозначную связь, задаваемую следующим уравнением (которое может быть получено путем натурального логарифма приведенного выше):
где k = 0 соответствует р = 0 и до τ и Т быть бесконечным.
Если п это единица времени частное т/п это просто количество единиц времени. Используя обозначения т для (безразмерного) количества единиц времени, а не для самого времени, т/п можно заменить на т, но для единообразия здесь этого удалось избежать. В этом случае деление на п в последней формуле тоже не числовое деление, а преобразование безразмерного числа в правильное количество, включая единицу.
Популярным приближенным методом расчета времени удвоения по скорости роста является правило 70,то есть, Т ≃ 70 / р < displaystyle T simeq 70 / r>.
Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), а также их 70 /т и 72 /т приближения. в Версия SVG, наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.
Переформулировка как лог-линейный рост
Если переменная Икс показывает экспоненциальный рост в соответствии с Икс ( т ) = Икс 0 ( 1 + р ) т < Displaystyle х (т) = х_ (1 + г) ^ > , то лог (к любой базе) Икс растет линейно со временем, как можно увидеть, взяв логарифмы обеих частей уравнения экспоненциального роста:
бревно Икс ( т ) = бревно Икс 0 + т ⋅ бревно ( 1 + р ) . < displaystyle log x (t) = log x_ + t cdot log (1 + r).>
Это позволяет моделировать экспоненциально растущую переменную с помощью лог-линейная модель. Например, если кто-то хочет эмпирически оценить скорость роста на основе межвременных данных по Икс, можно линейно регресс бревно Икс на т.
Дифференциальное уравнение
говоря, что изменение в момент времени Икс вовремя т пропорционально значению Икс(т), и Икс(т) имеет Первоначальный значение
Дифференциальное уравнение решается прямым интегрированием:
d Икс d т = k Икс d Икс Икс = k d т ∫ Икс ( 0 ) Икс ( т ) d Икс Икс = k ∫ 0 т d т пер Икс ( т ) Икс ( 0 ) = k т . < displaystyle < begin < frac > frac > frac > frac > >
В приведенном выше дифференциальном уравнении, если k < 0 , то количество переживаний экспоненциальный спад.
Для нелинейный Вариант этой модели роста см. логистическая функция.
Уравнение разницы
Икс т = а ⋅ Икс т − 1 < Displaystyle х_ = а cdot х_ >
Икс т = Икс 0 ⋅ а т , < displaystyle x_ = x_ cdot a ^ ,>
показывая это Икс испытывает экспоненциальный рост.
Прочие темпы роста
В конечном итоге экспоненциальный рост любого вида превзойдет линейный рост любого вида (основа Мальтузианская катастрофа ) а также любые многочлен рост, то есть для всех α:
Существует целая иерархия возможных темпов роста, которые медленнее экспоненциального и быстрее линейного (в долгосрочной перспективе). Видеть Степень полинома § Вычисляется из значений функции.
Темпы роста также могут быть выше, чем экспоненциальные. В самом крайнем случае, когда рост неограниченно увеличивается за конечное время, он называется гиперболический рост. Между экспоненциальным и гиперболическим ростом находится больше классов поведения роста, таких как гипероперации начиная с тетрация, и А ( п , п ) < Displaystyle А (п, п)>, диагональ Функция Аккермана.
Логистический рост
J-образный экспоненциальный рост (слева, синий) и S-образный логистический рост (справа, красный).
Основная статья: Логистическая кривая
В действительности начальный экспоненциальный рост часто не сохраняется вечно. По прошествии некоторого времени он будет замедлен внешними факторами или факторами окружающей среды. Например, рост населения может достигнуть верхнего предела из-за ограниченности ресурсов. [7] В 1845 году бельгийский математик Пьер Франсуа Верхюльст впервые предложил такую математическую модель роста, названную «логистический рост «. [8]
Ограничения моделей
Модели экспоненциального роста физических явлений применимы только в ограниченных регионах, поскольку неограниченный рост физически нереален. Хотя первоначально рост может быть экспоненциальным, моделируемые явления в конечном итоге войдут в область, в которой ранее игнорировались негативный отзыв факторы становятся значимыми (приводящими к логистический рост модель) или другие допущения, лежащие в основе модели экспоненциального роста, такие как непрерывность или мгновенная обратная связь, не работают.
Дальнейшая информация: Пределы роста, Мальтузианская катастрофа, и Видимая скорость заражения
Смещение экспоненциального роста
Исследования показывают, что людям сложно понять экспоненциальный рост. Смещение экспоненциального роста — это тенденция недооценивать сложные процессы роста. Эта предвзятость может иметь и финансовые последствия. [9] Ниже приведены несколько историй, которые подчеркивают эту предвзятость.
Рис на шахматной доске
Смотрите также: Задача о пшенице и шахматной доске
Согласно старинной легенде, визирь Сисса Бен Дахир подарила индийскому королю Шариму красивый ручной работы. шахматная доска. Король спросил, что он хотел бы взамен своего подарка, и придворный удивил короля, попросив одно зерно риса на первом квадрате, два зерна на втором, четыре зерна на третьем и т. Д. Король с готовностью согласился и спросил чтобы принести рис. Сначала все шло хорошо, но требование на 2 п−1 зерна на п-й квадрат потребовал свыше миллиона зерен на 21-м квадрате, более миллиона миллионов ( a.k.a. триллион ) 41-го и риса во всем мире просто не хватило для последних квадратов. (Из Свирски, 2006 г.) [10]
В вторая половина шахматной доски это время, когда экспоненциально растущее влияние оказывает значительное экономическое влияние на общую бизнес-стратегию организации.
Водяная лилия
Французским детям предлагается загадка, в которой показан аспект экспоненциального роста: «очевидная внезапность, с которой экспоненциально растущее количество приближается к фиксированному пределу». Загадка представляет собой растение водяной лилии, растущее в пруду. Растение удваивается в размерах каждый день, и, если его оставить в покое, оно задушит пруд за 30 дней, убив всех остальных живых существ в воде. День за днем рост растения невелик, поэтому решено, что это не будет проблемой, пока оно не покроет половину пруда. Какой это будет день? 29-й день, остается только один день на спасение пруда. [11] [10]
Смотрите также
- Ускорение изменений
- Альберт Аллен Бартлетт
- Артробактер
- Асимптотические обозначения
- Бактериальный рост
- Ограниченный рост
- Рост клеток
- Экспоненциальный алгоритм
- EXPSPACE
- EXPTIME
- Хаусдорфово измерение
- Гиперболический рост
- Информационный взрыв
- Закон ускорения отдачи
- Список экспоненциальных тем
- Логарифмический рост
- Логистическая функция
- Мальтузианская модель роста
- Губка менгера
- Закон Мура
- Квадратичный рост
- Закон Штейна
Источник: wikidea.ru
Экспонента
График экспоненты 
(синим).
Касательная (красным) в нуле у функции 
наклонена на 
Рядом для примера показаны 
(точками) и 
(пунктиром)
Экспоне́нта — показательная функция 
, где e — число Эйлера 
).
Определение
Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:
или через предел:
Свойства
, в частности
- Экспонента — единственное решение дифференциального уравнения
с начальными данными 
. Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
.
.
, где c — некоторая константа.
где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус.
Комплексная экспонента
Ошибка создания миниатюры:
График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда
Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением 
, где 
есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты 
вещественного переменного 
:
Определим формальное выражение
.
Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:
Сходимость данного ряда легко доказывается:
.
Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция 
всюду определена и аналитична.
Свойства
- Комплексная экспонента — целаяголоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в нуль.
- — периодическая функция с основным периодом 2πi:
. В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой 
. - — единственная функция, производная (а также соответственно и интеграл) которой равен самой себе.
- Алгебраически экспонента от комплексного аргумента
может быть определена следующим образом: 
(формула Эйлера)
- В частности, имеет место (тождество Эйлера),
Вариации и обобщения
Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.
Матричная экспонента
Основная статья: Матричная экспонента
Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:
Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора 
с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы 
Следовательно, экспонента от матрицы 
всегда определена и сама является матрицей.
С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение 
с начальным условием 
имеет своим решением 
h-экспонента
Введение -экспоненты основано на втором замечательном пределе:
При получается обычная экспонента [1] .
Обратная функция
Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается :
См. также
- Показательная функция
- Список интегралов от экспоненциальных функций
Литература
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
- Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.
Ссылки
- «Экспонента и число е: просто и понятно» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions https://www.wikiznanie.ru/wp/index.php/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0″ target=»_blank»]www.wikiznanie.ru[/mask_link]