Теория игр, раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами.
Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались (начиная с 17 в.) многими учёными. Систематическая же математическая теория игр была детально разработана американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном (1944) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития теория игр переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов. В рамках теории игр в принципе поддаются математическому описанию военные и правовые конфликты, спортивные состязания, «салонные» игры, а также явления, связанные с биологической борьбой за существование.
Теория игр (theory of games)— математические расчеты гипотетического поведения принятия решения двумя или более людьми в ситуациях, где каждый способен сделать выбор между двумя или более направлениями деятельности «стратегиями», их интересы могут частично или полностью быть противоположными, для любого лица числовые значения прилагаются к «полезности» комбинации результатов. Разработанная прежде всего фон Нойманом (см. фон Нойман и Моргенштерн, 1944), теория игр основана на традиционных формах рационального моделирования в политэкономии.
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры — выигрыш одного из партнёров.
В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.
7 стр., 3302 слов
Теория решения изобретательских задач
. Информационный фонд ТРИЗ[6] Вепольный анализ (структурный вещественно-полевой анализ) технических систем[7] Алгоритм решения изобретательских задач — АРИЗ[8] Методы развития творческого воображения 4. Основы ТРИЗ 4.1. Изобретательская ситуация . и поля и другие операции. 4.3.3.4. Математические эффекты Среди математических эффектов наиболее разработанными являются геометрические. Геометрические .
Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР
антагонистической
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры , следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными . Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости , т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
средний выигрыш (проигрыш)
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока . При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр — естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР
Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.
В зависимости от количества игроков различают игры двух и игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков — тем больше проблем.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной . Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной .
По характеру взаимодействия игры делятся на:
бескоалиционные : игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;
коалиционные (кооперативные) могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции наперёд определены.
По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой су м мой .
24 стр., 11653 слов
Применение теории игр для оптимизации принимаемых решений
. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников в конфликтных ситуациях, то есть определение оптимальной стратегии каждого из них. Объектом исследования дипломного проекта . различным аспектам рассматриваемого явления, либо к тому и другому. В таких случаях невозможно применить традиционные методы оптимизации. В обычных экстремальных задачах речь идет о .
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.
Матричная игра это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице выигрыш игрока 2.)
Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой . Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой . Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.
3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЭКОНОМИКЕ
В качестве примеров здесь можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций, вертикальной интеграции и т.д.
в области платежей
Квадранты 1 и 2 характеризуют ситуацию, когда реакция конкурентов не оказывает существенного влияния на платежи фирмы. Это происходит в тех случаях, когда у конкурента нет мотивации (поле 1 ) или возможности (поле 2 ) нанести “ответный удар”. Поэтому нет необходимости в детальном анализе стратегии мотивированных действий конкурентов.
Аналогичный вывод следует, хотя и по другой причине, и для ситуации, отражаемой квадрантом 3 . Здесь реакция конкурентов могла бы изрядно воздействовать на фирму, но поскольку ее собственные действия не могут сильно повлиять на платежи конкурента, то и не следует опасаться его реакции. В качестве примера можно привести решения о вхождении в рыночную нишу: при определенных обстоятельствах у крупных конкурентов нет оснований реагировать на подобное решение небольшой фирмы.
4 стр., 1844 слов
Теория вероятностей в азартных играх
. «О государственном регулировании деятельности по организации и проведению азартных игр и пари». Цель: Рассмотреть теорию вероятности в азартных играх и проанализировать универсальную формулу вычисления прибыли для азартных игр. Задачи: 1. Изучить теоретические основы теории вероятностей и особенности азартных игр. .
Лишь ситуация, показанная в квадранте 4 (возможность ответных шагов рыночных партнеров), требует использования положений теории игр. Однако здесь отражены лишь необходимые, но недостаточные условия, чтобы оправдать применение базы теории игр для борьбы с конкурентами. Бывают ситуации, когда одна стратегия безусловно доминирует над всеми другими независимо от того, какие действия предпримет конкурент. Если взять, например, рынок лекарственных препаратов, то для фирмы часто бывает важно первой заявить новый товар на рынке: прибыль “первопроходца” оказывается столь значительной, что всем другим “игрокам” остается только быстрее активизировать инновационную деятельность.
проникновения на новый рынок.
Та же самая игровая ситуация может быть представлена и в нормальной форме (рис.4).
Здесь обозначены два состояния — “вступление/дружественная реакция” и “невступление/ агрессивная реакция”. Очевидно, что второе равновесие несостоятельно. Из развернутой формы следует, что для уже закрепившейся на рынке компании нецелесообразно реагировать агрессивно на появление нового конкурента: при агрессивном поведении теперешний монополист получает 1(платеж), а при дружественном — 3. Компания-аутсайдер к тому же знает, что для монополиста не рационально начинать действия по ее вытеснению, и поэтому она принимает решение о вступлении на рынок. Грозившие потери в размере (-1) компания-аутсайдер не понесет.
Подобное рациональное равновесие характерно для “частично усовершенствованной” игры, которая заведомо исключает абсурдные ходы. Такие равновесные состояния на практике в принципе довольно просто найти. Равновесные конфигурации могут быть выявлены с помощью специального алгоритма из области исследования операций для любой конечной игры. Игрок, принимающий решение, поступает следующим образом: вначале делается выбор “лучшего” хода на последнем этапе игры, затем выбирается “лучший” ход на предшествующем этапе с учетом выбора на последнем этапе и так далее, до тех пор пока не будет достигнут начальный узел дерева игры.
Какую пользу могут извлечь компании из анализа на базе теории игр? Известен, например, случай столкновения интересов компаний IВМ и Telex. В связи с объявлением о подготовительных планах последней к вступлению на рынок состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы мероприятия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок.
Компании Telex, видимо, стало известно об этих мероприятиях. Анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны.
Это свидетельствует, что компаниям полезно в эксплицитном виде обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию монополиста. В этом случае в соответствии с критерием ожидаемой стоимости разумно выбрать ход “невступление” при вероятности агрессивного ответа 0,5.
6 стр., 2652 слов
Контроллинг, как инструмент управления предприятием в кризисной ситуации
. повышение гибкости предприятия; необходимость в непрерывном отслеживании изменений происходящих во внешней и внутренней средах предприятия; необходимость продуманной системы действий по обеспечению выживаемости предприятия и избежанию кризисных ситуаций; Контроллинг переводит управление предприятием на качественно .
Для предприятия 1 лучше всего было бы, если бы предприятие 2 отказалось от конкуренции. Его выгода в таком случае составила бы 3 (платежа).
С большой вероятностью предприятие 2 выиграло бы соперничество, когда предприятие 1 приняло бы урезанную программу инвестиций, а предприятие 2 — более широкую. Это положение отражено в правом верхнем квадранте матрицы.
Анализ ситуации показывает, что равновесие наступает при высоких затратах на НИР предприятия 2 и низких предприятия 1 . При любом другом раскладе у одного из конкурентов появляется резон отклониться от стратегической комбинации: так, для предприятия 1 предпочтителен сокращенный бюджет, если предприятие 2 откажется от участия в соперничестве; в то же время предприятию 2 известно, что при низких затратах конкурента ему выгодно инвестировать в НИР.
Предприятие, имеющее технологическое преимущество, может прибегнуть к анализу ситуации на базе теории игр, чтобы в конечном счете добиться оптимального для себя результата. С помощью определенного сигнала оно должно показать, что готово осуществить крупные затраты на НИР. Если такой сигнал не поступил, то для предприятия 2 ясно, что предприятие 1 выбирает вариант низких затрат.
О достоверности сигнала должны свидетельствовать обязательства предприятия. В данном случае это может быть решение предприятия 1 о закупке новых лабораторий или найме на работу дополнительного научно-исследовательского персонала.
С точки зрения теории игр подобные обязательства равнозначны изменению хода игры: ситуация одновременного принятия решений сменяется ситуацией последовательных ходов. Предприятие 1 твердо демонстрирует намерение пойти на крупные затраты, предприятие 2 регистрирует этот шаг и у него нет больше резона участвовать в соперничестве. Новое равновесие вытекает из расклада “неучастие предприятия 2 ” и “высокие затраты на НИР предприятия 1 ”. К числу известных областей применения методов теории игр следует отнести также ценовую стратегию, создание совместных предприятий, расчет времени разработки новой продукции.
Эти знания можно использовать в практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации “выигрыш/выигрыш”. Сегодня консультанты с подготовкой в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п.
Проблемы практического применения в управлении
Следует, однако, указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.
Во-первых,
В-третьих,
Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.
4 стр., 1599 слов
Теория игр в институциональной экономике
. Нэш — американский математик — экономист, работающий в области теории игр и дифференциальной геометрии. Лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 года «За анализ равновесия в теории некооперативных игр». Известен широкой публике большей частью .
Отнюдь не бесспорно и принципиальное, лежащее в основе теории игр предположение о так называемом “общем знании”. Оно гласит: игра со всеми правилами известна игрокам и каждый из них знает, что все игроки осведомлены о том, что известно остальным партнерам по игре. И такое положение сохраняется до конца игры.
Но чтобы предприятие в конкретном случае приняло предпочтительное для себя решение, данное условие требуется не всегда. Для этого часто достаточны менее жесткие предпосылки, например “взаимное знание” или “рационализируемые стратегии”.
В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования.
Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение”, многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.
Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для практического использования. За последние 10 — 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере.
В последнее время эти методы проникли и в управленческую практику. Вполне вероятно, что теория игр наряду с теориями трансакционных издержек и “патрон — агент” будет восприниматься как наиболее экономически обоснованный элемент теории организации. Следует отметить, что уже в 80-х годах М. Портер ввел в обиход некоторые ключевые понятия теории, в частности такие, как “стратегический ход” и “игрок”. Правда, эксплицитный анализ, связанный с концепцией равновесия, в этом случае еще отсутствовал.
1. Ковалев В.В. Финансовый анализ М., Финансы и статистика, 1999
2. Кремер. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для экономистов.
3. Льюс Р., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961;
4. Мескон М., Альберт М., Хедоури Ф. Основы менеджмента, М., Дело, 1992
5. Нейман Дж. Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970
Примеры похожих учебных работ
Контрольная работа: Практическая разработка стратегии формирования инвестиционных .
. осуществляется в такой последовательности: На первой стадии определяется необходимый объем финансовых средств для реального инвестирования. В этих целях в разрезе предусмотренных направлениями инвестиционной стратегии отраслей подбираются необходимые .
Организация процесса принятия управленческих решений на предприятии
. ресторантс». Дипломная работа выполнена на Торгово-экономическом отделении ИМиБ. 1. СОДЕРЖАНИЕ И СТАДИИ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Управленческое решение – это результат конкретной управленческой деятельности менеджера. Принятие решений .
Сравнительный анализ конкурентных стратегий для экспортно-ориентированного предприятия
. сил в отрасли; 2. формулирование основных вариантов конкурентных стратегий. Признанным лидером разработки конкурентного анализа является профессор Гарвардской школы бизнеса М. Портер, автор основных моделей по определению главных сил конкуренции и .
Разработка и обоснование инвестиционных решений строительного предприятия на примере .
. актуальность данной темы. Целью дипломной работы является разработка и обоснование инвестиционных решений строительного предприятия на примере ООО . навыков и производственного опыта, необходимого для организации того или иного вида производства, но .
Стратегия управления персоналом кризисного предприятия
. выживание фирмы в кризисной ситуации. Предмет исследования: управление персоналом кризисного предприятия. стратегия кризис управление персонал Цель исследования: определить особенности управления персоналом кризисного предприятия. Задачи исследования .
Теория вероятностей в азартных играх
. Законе «О государственном регулировании деятельности по организации и проведению азартных игр и пари». Цель: Рассмотреть теорию вероятности в азартных играх и проанализировать универсальную формулу вычисления прибыли для азартных игр. Задачи: 1. .
Источник: econlib.ru
Теория игр
Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.[1]
Теория игр — это раздел прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
1 История
Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение»[2] (англ. Theory of Games and Economic Behavior).
Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу[3] о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.
Большой вклад в применения теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т.Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта.
Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике.
Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике.. говорит о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют.
Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которое играют люди, люди, в которые играют люди». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й.Хёзинга отличаться от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр.
Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г. П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г. П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР.
Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако, математический аппарат теории игр — затратен.
Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т. п. Например, с помощью теории игр делегация США моделировала поведение участников торговых переговоров с СССР, а потом с Россией. Результатом этих переговоров стали договоры крайне выгодные американцам и невыгодные России. Великолепный пример с играми мы видели в 2007—2008 годы в Украине при формировании и развале в Верховной Раде Украине коалиций. Пока ещё культурологические и бизнес-игры не интерпретируются с помощью математической теории игр по многим причинам, одна из которых — это дело будущего.
Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр стали: Роберт Ауманн, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Томас Шеллинг.
2 Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму.
Экстенсивная форма
Игра «Ультиматум» в экстенсивной форме
Игры в экстенсивной, или расширенной, форме[4] представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
На рисунке слева — игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает — выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй — A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией
Нормальная форма
В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей.[5] Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы — второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок — вторую стратегию, то на пересечении мы видим (?1, ?1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.
Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.
3 Характеристическая формула
В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.
Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N — количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой[6]) представляется парой (N, v), где N — множество всех игроков, а v : 2N > R — это характеристическая функция.
Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.
4 Типы игр
Кооперативные и некооперативные
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.
Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.
Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.
Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.
Симметричные и несимметричные
Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби».[7] В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».
Источник: www.0zd.ru
ТЕОРИЯ ИГР
В предыдущих разделах мы рассмотрели несколько видов стратегического взаимодействия фирм, при котором выигрыши участников являются взаимозависимыми величинами. Теперь возникает вопрос, как соперники с примерно равными условиями выбирают лучшую для себя стратегию. Как определяется оптимум фирмы в таком случае? Что означает равновесие фирмы в стратегическом взаимодействии?
На эти и многие другие вопросы отвечает теория игр. Она получила такое название, поскольку использует логику игроков в шахматы, карты, просчитывающих возможные шаги соперника.
Впервые математические основы теории игр были изложены математиком Дж. фон Нейманом в статье «К теории стратегических игр» в 1928 г. В законченной форме теория игр была создана Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном. Их работа «Теория игр и экономическое поведение» вышла в свет в 1944 г. Усовершенствованная рядом выдающихся ученых, теория игр стала методологической и инструментальной основой многих концепций как в экономике, так и в других общественных науках. Значительный вклад в теорию игр внес американский ученый Джон Нэш.
Фактически любая форма стратегического поведения, учитывающая ответные действия соперника, есть игра. Отличия моделей теории игр состоят в том, что они позволяют участникам сравнивать альтернативные стратегии и выигрыши от них и выбирать из всех возможных лучший вариант стратегии.
Наиболее известна модель, получившая название «дилемма заключенных» [1] . Это некооперативная игра; каждый участник принимает решение и действует единолично, преследуя собственные цели. Суть дилеммы состоит в следующем. Полиция задержала двух человек по подозрению в вооруженном ограблении.
Хотя были свидетели ограбления, улик у полиции все же не хватает, и подозреваемых можно посадить только за хранение оружия сроком на один год, если они не признаются. Если оба признаются, то им будет вынесен сравнительно мягкий приговор — три года тюрьмы.
Судья на допросе обещает отпустить на свободу того, кто признается, и засадить на полный срок — 5 лет — того, кто не признается в ограблении. Таким образом, у каждого заключенного есть две стратегии: признаться или не признаваться. Если бы они могли договориться, то, скорее всего, не сознались бы и получили по одному году тюрьмы. Но они сидят в разных камерах и не могут договориться о совместных действиях. Каждый из них (допустим, индивид А) опасается, что если он не признается, то другой соучастник (индивид В) может признаться, и тогда А получит максимальный срок.
Если сравнить все возможные выигрыши и проигрыши каждого заключенного в четырех возможных комбинациях, то окажется, что лучшей стратегией является признание своей вины: если А признается и В тоже признается, то А получит не самый большой срок — 3 года; если же А признается, а В не признается, то А получает свободу, а В — 5 лет тюрьмы. Признание вины обеспечивает индивиду А лучший результат при возможном худшем для него поведении соперника. Аналогичный результат мы получим, если будем рассуждать с точки зрения заключенного В. Следовательно, признание вины дает выгоду каждому игроку, независимо от действий другого игрока.
Стратегия, обеспечивающая выигрыш независимо от стратегии другого участника игры, называется доминирующей стратегией.
Хотя исход в случае выбора доминирующей стратегии не самый лучший для каждого игрока (не максимально лучший, как при обычном выборе агента рынка), тем не менее он является лучшим результатом при вполне вероятной худшей ситуации.
Эта стратегия, получившая название максимина, создает фактически ситуацию равновесия: ни у одного из игроков не возникает побудительного мотива изменять свое решение независимо от решений другого игрока. Такое равновесие носит имя американского ученого Дж. Нэша, который разработал теорию некооперативных игр и теорему о максимине как оптимальной стратегии в некооперативной игре [2] .
Интерпретируем «дилемму заключенных» для экономической ситуации и сведем наши рассуждения в таблицу выигрышей и потерь каждого участника игры — платежную матрицу, объединяющую три главных элемента любой игры: игроков, их стратегии, итоговые выигрыши.
Предположим, что продукцию отрасли производят две фирмы Ат В (табл. 10.1). Предположим также, что фирмы могут продавать свою продукцию по высокой цене (скажем, 10 руб. за единицу) или по низкой (9 руб. за единицу); других вариантов цен нет.
Предположим также, что если эти фирмы изберут одинаковую стратегию высоких цен, что возможно при сговоре между ними, то получат одинаковую высокую прибыль (2500 руб.). Но если фирма Л назначит низкую цену (9 руб.), а фирма В не изменит своей цены (10 руб.), то прибыль фирмы А значительно увеличится (до 3000 руб.).
Это произойдет по той причине, что более низкая цена у фирмы А (при однородности производимой двумя фирмами продукции) позволит ей привлечь часть покупателей фирмы В, расширить продажи и более чем компенсировать потери от снижения цены. При этом фирма В, не снизившая цену, потеряет часть рынка и часть прибыли (она получит всего 1000 руб.) за счет уменьшения объема продаж. Симметричная ситуация возникнет, если фирма В решит установить низкие цены, а фирма А сохранит высокую цену. В этом случае фирма В получит высокую прибыль (3000 руб.), а фирма А получит всего 1000 руб.
Таблица 10.1
Платежная матрица для олигополии, состоящей из двух фирм
Ценовая стратегия фирмы В
Высокая цена, 10
Ценовая стратегия фирмы А
Высокая цена, 10
II II со о о о о о о
Последний вариант возможного сочетания стратегий — обе фирмы устанавливают низкую цену на свою продукцию (9 руб.). В таком случае каждая из них сохранит долю рынка: у потребителей нет альтернативы в выборе между дешевой и дорогой продукцией. Фирмы получат одинаковую прибыль (1500 руб.). Это существенно меньше самой лучшей возможности для каждой фирмы (когда прибыль составляет 2500 руб.), но лучше возможного худшего результата (в 1000 руб.). (Рассуждения о выгодах и потерях с точки зрения фирмы А и фирмы В будут симметричны.)
Какая же стратегия в результате будет выбрана фирмой А? Скорее всего, фирма А предпочла бы договориться с фирмой В, установить высокую цену и обеспечить себе максимально возможную прибыль. Однако сговор между фирмами исключен (по условию нашей некооперативной игры). Сохранить же высокую цену в надежде, что фирма В также установит высокую цену, фирма А не может, так как гораздо больший выигрыш фирма В получит при снижении цены (при сохранении высокой цены фирмой А) и фирма А предполагает, что фирма В не упустит такой возможности.
Самую высокую прибыль фирма А получит при снижении цены (на практике — при ценовом демпинге), но при условии, что фирма В сохранит высокую цену. Однако это будет плохой стратегией для фирмы В, и она на это, скорее всего, не пойдет, так как потеряет прибыль. Предполагая, что фирма В поступит так же разумно, как и она сама, и примет решение снизить цену, фирма А также должна снизить цену. Эти рассуждения приводят к выводу, что для фирмы А стратегия низкой цены является предпочтительной: при любой ценовой стратегии фирмы В прибыль фирмы А будет выше минимального значения. Если фирма В повысит цену, фирма А, снизив цену, получит очень высокую прибыль (3000 руб.), а если фирма В установит низкую цену, фирма А, снизив цену, все равно получит прибыль выше минимальной (1500 больше, чем 1000).
Отсюда следует фундаментальный вывод теории игр: оптимальным стратегическим решением для двух фирм в худшей для каждой из них ситуации будет следование доминирующей стратегии макси- мина. Эта стратегия гарантирует наилучший исход в худшей ситуации, когда один из соперников оставляет другому минимальные преимущества. Следуя стратегии максимина, фирмы выбирают самый лучший исход из всех возможных худших исходов и тем самым они минимизируют риск потерь прибыли.
Симметричное стратегическое поведение фирм при выборе доминирующей стратегии максимина обеспечивает достижение равновесия Нэша. В приведенном примере равновесие наступает, когда каждая фирма принимает доминирующую стратегию более низких цен, обеспечивающую получение прибыли в размере 1500 руб. и гарантирующую, что прибыль не опустится до уровня 1000 руб.
Теория некооперативных игр имеет развитие. В повторяющихся некооперативных играх игроки, наблюдая поведение соперника, могут прийти к выводу, что не очень хороший (максиминный) результат можно улучшить при взаимном согласии о сотрудничестве. Кооперативные действия могут улучшить благосостояние игроков и тем самым подтолкнуть их к сотрудничеству. Таким образом, некооперативные игры являются базовыми и для объяснения кооперативных игр с помощью равновесия Нэша.
- [1] «Дилемма заключенных» была сформулирована А. Таккером, научнымруководителем диссертации Дж. Нэша, чтобы проиллюстрировать теориюигр и равновесие Нэша.
- [2] Теорема о равновесии в некооперативной игре была разработана в докторскойдиссертации Дж. Нэша и впервые изложена в статье 1951 г. В 1994 г. Нэш получил Нобелевскую премию по экономике.
Источник: studref.com