— используется, когда статистическая информация не содержит данных о весах по отдельным вариантам совокупности, но известны произведения значений варьирующего признака на соответствующие им веса.
Общая формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:
х – величина варьирующего признака,
w – произведение значения варьирующего признака на его веса (xf)
Например, три партии товара А куплены по разным ценам (20, 25 и 40 руб.) Общая стоимость первой партии составила 2000 руб., второй партии – 5000 руб., и третьей партии – 6000 руб. Требуется определить среднюю цену единицы товара А.
Средняя цена определяется как частное от деления общей стоимости на общее количество закупленного товара. Используя среднюю гармоническую, мы получим искомый результат:
В том случае, если общие объемы явлений, т.е. произведения значений признаков на их веса равны, то применяется средняя гармоническая простая:
х – отдельные значения признака (варианты),
Средние величины. Средняя гармоническая.
n – общее число вариант.
Пример. Две машины прошли один и тот же путь: одна со скоростью 60 км/час, а вторая – 80 км/час. Принимаем протяженность пути, который прошла каждая машина, за единицу. Тогда средняя скорость составит:
Источник: www.vavt.ru
Краткий курс по статистике
Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:
Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего. Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
Средняя квадратическая взвешенная:
2. Выделяют следующие основные виды средних величин:
☞ по наличию признака-веса: невзвешенная и взвешенная;
☞ охвату совокупности: групповая, общая;
☞ форме расчета: средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д. величины.
Данные средние выводятся из формулы степенной средней:
где xi – величины, для которых исчисляется средняя;
– средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;
n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
При при k = – средняя гармоническая; при k = 0 – средняя геометрическая; при k = 2 – средняя квадратическая.
При k = 1 формула расчета степенной средней превращается в формулу расчета средней арифметической:
3. Выделяют следующие основные виды средней арифметической величины: средняя арифметическая невзвешенная, средняя арифметическая взвешенная.
Средняя арифметическая невзвешенная величина наиболее распространена; рассчитывается путем деления значений признака каждого элемента совокупности на число элементов совокупности:
Среднее гармоническое чисел. Работа с формулой
Средняя арифметическая взвешенная величина рассчитывается, если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности каждым значением осредняемого признака:
Выделяют следующие основные свойства средней арифметической величины:
☞ сумма всех отклонений каждого значения признака от среднего арифметического значения равна нулю:
Если отклонения каждого из вариантов от средней величины суммировать, то получится ноль, что свойственно арифметическим невзвешенным и взвешенным средним значениям;
☞ произведение каждого значения признака на соответствующую ему частоту равно произведению средней величины на сумму частот:
Средняя величина есть результат распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами;
☞ сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонения от любой другой величины:
если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака на какое-либо одно и то же число, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится на это же число;
☞ если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака в какое-либо число раз, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз;
☞ от увеличения или уменьшения веса каждого варианта признака в какое-либо число раз величина средней не изменится. Применение данного свойства удобно, если необходимо проанализировать совокупность со значительным количеством элементов, а частота элементов выражена многозначными числами. Если частоты элементов равны между собой, то среднюю можно рассчитать как невзвешенную;
☞ вследствие предыдущего свойства величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных элементов, а от их доли в общей сумме весов, т. е. если не известны абсолютные выражения весов элементов, а известны пропорции между ними, то они могут использоваться для расчета средней;
☞ средняя арифметическая совокупности, состоящей из постоянных величин, равна этой постоянной:
4. Приведем также формулы расчета средней гармонической, средней геометрической, средней квадратической и средней степенной величин.
Формула расчета степенной средней:
где xi – величины, для которых исчисляется средняя;
– средняя, где имеет место осреднение индивидуальных значений;
n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
При к = формула превращается в формулу расчета средней гармонической.
Средняя гармоническая простая (невзвешенная) величина взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака:
Средняя гармоническая взвешенная величина:
где ω – значения сводного, объемного, выступающего как признак-вес показателя.
Рассчитывается, когда имеются данные об объеме определяющего показателя, т. е. произведения осредняемого признака и признака-веса.
Также рассчитывается при наличии сведений об индивидуальных значениях осредняемого признака при отсутствии отдельных значений признака-веса.
Средняя степенная при показателе степени к = 0 становится средней геометрической величиной.
5. К основным видам средних геометрических величин относятся средняя геометрическая невзвешенная и средняя геометрическая взвешенная величины. Расчет средней геометрической невзвешенной величины: если показатель степени k = 0, то формула средней степенной
где П(хi) – произведение индивидуальных значений осредняемого признака.
Применяется при наличии n коэффициентов роста. Индивидуальные значения признаков при этом становятся относительными величинами динамики (построены в виде цепных величин как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики).
Средняя геометрическая невзвешенная величина характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическая взвешенная применяется в случае, если темпы роста остаются неизменными в течение нескольких периодов:
где – средняя геометрическая взвешенная (средний темп прироста);
х – количество периодов, при которых темпы роста оставались неизменными.
6. Средняя квадратическая – средняя степенная при показателе степени k = 2.
Различают следующие основные виды средних квадратических величин: средняя квадратическая невзвешенная, средняя квадратическая взвешенная.
Средняя квадратическая невзвешенная
используется при расчете степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической. Средняя квадратическая взвешенная:
Все формы средней (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т. д.) образованы от единой степенной средней и отличаются друг от друга показателями степени k.
Правильность расчета средней величины можно проверить с помощью правила мажорантности: чем выше степень рассчитываемой формы средней величины, тем больше значение средней:
Источник: www.livelib.ru
Формула гармонического среднего — Калькулятор (шаблон Excel)
Гармоническое среднее — это, в основном, тип усреднения, который используется в статистике, который является обратной величиной от среднего арифметического обратных величин. Среднее гармоническое всегда меньше, чем среднее арифметическое одного и того же набора данных. Среднее гармоническое обычно не используется в качестве арифметического или геометрического среднего и используется в определенных ситуациях или при работе со средними значениями единиц, такими как средняя скорость перемещения и другие соотношения. Это также используется в области финансов для расчета кратных цен, таких как отношение цены к прибыли, отношение цены к продажам и т. Д. Причина этого заключается в том, что если мы используем взвешенное арифметическое среднее значение для вычисления этих значений, точки с высокими данными получат более высокий вес и более низкие значения данных приведут к меньшему весу, что создаст проблему и не даст нам правильное значение.
Предположим, что у нас есть набор данных с n точками данных и определяется как X: (X1, X2, X3 …… ..Xn).
Формула для гармонического среднего
Harmonic Mean = n / (1/X1 + 1/X2 + 1/X3 ………… 1/Xn)
- X1, X2, … Xn — Точки данных
- n — общее количество точек данных
Шаги для вычисления среднего гармонического:
- Возьмите обратную величину всех точек данных в наборе данных.
- После этого найдите среднее / среднее из этих значений.
- Следующим и последним шагом является взятие обратной величины из этого значения, чтобы получить гармоническое среднее.
Примеры формулы среднего гармонического (с шаблоном Excel)
Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять вычисление гармонического среднего.
Вы можете скачать этот шаблон гармонического среднего здесь — шаблон гармонического среднего
Формула гармонического среднего — пример № 1
Допустим, у вас есть набор данных с 10 точками данных, и мы хотим рассчитать среднее гармоническое для этого.
Набор данных: (4, 6, 8, 9, 22, 83, 98, 45, 87, 10)
Взаимное будет рассчитываться как:
Результат будет таким, как указано ниже.
Точно так же, мы должны рассчитать Взаимное для всех точек данных.
Теперь среднее значение взаимного рассчитывается как
- Среднее взаимного = (0, 25 + 0, 17 + 0, 13 + 0, 11 + 0, 05 + 0, 01 + 0, 01 + 0, 02 + 0, 01 + 0, 10) / 10
- Среднее Взаимное = 0, 85 / 10
- Среднее взаимного = 0, 085
Среднее гармоническое рассчитывается по формуле, приведенной ниже
Среднее гармоническое = n / (1 / X1 + 1 / X2 + 1 / X3 ………… 1 / Xn)
Среднее гармоническое = 1 / среднее взаимного
- Среднее гармоническое = 1 / 0, 085
- Среднее гармоническое = 11, 71
Формула среднего гармонического — пример № 2
Теперь давайте посмотрим на некоторые другие примеры из практической жизни, чтобы понять значение более четко и увидеть разницу между арифметическим и гармоническим средним.
Допустим, вы едете на машине и едете в другой город. Общее время в пути составляет 4 часа, из которых вы едете со скоростью 60 км / час в течение 1- го часа, 50 км / час в течение 2- го часа, 100 км / час в течение 3- го часа и 40 км / час в течение 4- й час
Таким образом, ваша средняя скорость может быть рассчитана простым способом:
- Средняя скорость = (60 + 50 + 100 + 40) / 4
- Средняя скорость = 250/4
- Средняя скорость = 62, 5 км / час
Но, скажем, приведенная информация такова, что в течение первой половины времени вы двигались со скоростью 55, 5 км / час, а в следующей половине — со скоростью 70 км / час. В этом случае нам нужно использовать среднее гармоническое, чтобы найти среднюю скорость.
Среднее гармоническое рассчитывается по формуле, приведенной ниже
Среднее гармоническое = n / (1 / X1 + 1 / X2 + 1 / X3 ………… 1 / Xn)
- Среднее гармоническое = 2 / ((1 / 55, 5) + (1/70))
- Среднее гармоническое = 61, 91 км / час
Если вы видите здесь, значение гармонического среднего меньше простого среднего.
объяснение
Хотя среднее гармоническое значение в основном используется для нахождения среднего значения набора данных, подобно простому среднему арифметическому, оно не рассчитывается как просто среднее арифметическое. Если у нас большой набор данных, вычисление среднего значения гармоник станет сложным и трудоемким. Со сложностью приходит путаница и вероятность ошибки.
Поэтому нужно быть очень осторожным при расчете среднего гармонического значения для большого набора данных. Так как мы берем взаимное значение при расчете среднего гармонического, наибольший вес задается наименьшему значению и наоборот. Иногда это не требуется.
Другой недостаток состоит в том, что если любая из точек данных в наборе данных равна 0, среднее гармоническое не может быть рассчитано, поскольку х / 0 не определено. Таким образом, в некотором смысле гармоническое среднее имеет очень ограниченную область действия в отличие от среднего арифметического. Кроме того, это чрезвычайно чувствительно к выбросам и экстремальным значениям.