А между прочим, в теории случайных процессов смысл сигма-алгебры как информации используется почти везде, во многих книгах про это говорится. В частности, фильтрация — это поток информации опять же (и до момента t нам известны все события из всех сигма-алгебр фильтрации до момента t включительно). Условная вероятность при условии какой-то сигма-алгебры фильтрации — это вероятность какого-то события при условии, что нам известна часть информации об общем «эксперименте» (а именно та часть, которая соответствует нужной сигма-алгебре фильтрации), соответственно, например, в мартингалах наилучшее предсказание будущего при известном настоящем — это текущая случайная величина.
То, что я сейчас написал, повторяю, в том или ином виде описано во многих книгах по теории случайных процессов (в некоторых — очень подробно, т. е. почти так, как я описал в первом посте, а в некоторых — примерно только то, что написано здесь). Могу привести в пример Ширяева. Конкретно про такую интерпретацию можно прочитать в его книге «Основы стохастической финансовой математики, том 1», стр. 48-49, 103-105 (книга в интернете во многих местах есть). Так что это не лично я пытаюсь наделить математику физическими свойствами, а так делают многие.
Поэтому я и задался вопросом: раз сигма-алгебры (по крайней мере в теории случайных процессов, в фильтрациях) многие (уважаемые люди) интерпретируют как известную на данный момент информацию, то должно быть какое-то более менее разумное объяснение, почему наблюдаемым можно объявить объединение счётного числа событий и нельзя объявить объединение континуума.
Ладно, это всё отступление, так как Вы, Наталья, этого объяснения не знаете
Источник: shoehanger.livejournal.com
Теория вероятностей: часть I
Привет, народ ! эта серия будет охватывать все основные концепции теории вероятностей, необходимые для создания прочных основ науки о данных.
Сегодня в этом блоге я расскажу об очень интересной теме теории вероятностей, а именно о сигма-алгебре, которую также часто называют сигма-полем. Так что же такое сигма-алгебра?
Предположим, у нас есть выборочное пространство Ω (омега), такое что Ω ≠ Φ, что означает, что Ω является счетным непустым пространством. Пусть Β — семейство всех подмножеств A множества Ω, а P(Ω) — степенное множество такое, что P(Ω) = .
Теперь возникает два случая:
- Когда Ω счетно, т. е. Ω = , i ∈ I.
- Когда Ω является пространством произвольной выборки.
В первом случае вероятностная мера Pна Ω определяется соотношением P (X) = ΣP() для каждого ω ∈ X.
Во втором случае почти невозможно определить точную вероятностную меру Pдля всех подмножеств Ω.
Теперь, когда В, семейство подмножеств A в Ω называется сигма-алгеброй или сигма-полем тогда и только тогда, когда оно обладает следующими свойствами (1.) B не является «Null», (2.) если X ∈B, то Xᶜ также ∈ В . (3.) если X₁, X₂, X₃… ∈Β, то X₁U X₂ U X₃ U …….. также ∈ B, (4.) само сигма-поле, т. е. B⊆ степенное множество Ω.
Спасибо и продолжайте следить за дальнейшими темами в этой серии.
Источник: skine.ru
Зачем нужна Сигма-алгебр для определения вероятностных пространств?
У нас есть случайный эксперимент разные результаты формирование пространство области $Omega,$, на которые мы смотрим с интересом на определенной модели, называемой события $mathscr.$ Сигма-алгебры (или Сигма-поля) состоят из событий, к которому вероятностная мера $mathbb$ могут быть назначены. Некоторые свойства будут выполнены, в том числе включение пустое множество $varnothing$ и весь образец пространства, и алгебры, который описывает объединений и пересечений с диаграммы Венна.
Вероятность определяется как функция Между о $Sigma$-алгебра и интервал $[0,1]$. В общей сложности, тройной $(Омега mathscr, mathbb)$ образует вероятностное пространство.
Может кто-нибудь объяснить на простом английском языке, почему вероятность здание рухнет, если мы не’т иметь о $Sigma$-алгебры? Они просто вклиниваются в середине с этим каллиграфии и quot донельзя;ф» по. Я верю, что они являются необходимыми; я вижу, что событие отличается от результата, но что бы пойти вкривь и вкось Без о $Sigma$-алгебры?
вопрос: в какой тип проблемы вероятность определение вероятностного пространства в том числе о $Sigma$-алгебра становится необходимостью?
[Этот документ на сайте университета Дартмут]( http://www.dartmouth.edu/~шанс/teaching_aids/books_articles/probability_book/Главу 2.формате PDF) обеспечивает простое доступное объяснение. Идея-вращающийся указатель, вращающийся против часовой стрелки по кругу блок периметр: