При слове «геометрия» у нас из глубин памяти всплывают цилиндры, треугольники, гипотенузы, биссектрисы углов, «найдите площадь фигуры», грифельные доски и ломающийся мел. Проблема в том, что все, приходящее на ум, — это язык для описания крайне узкого набора явлений окружающего мира. Дома, может быть, иногда и близки к параллелепипеду, но деревья — не цилиндры, горы — не конусы, а форму облака непонятно с чем и сравнить.
Если мы приглядимся внимательно, то в окружающем нас мире эта школьная геометрия (мы будем называть ее евклидовой) описывает не столь уж и многое. И в большинстве своем описывает формы, созданные человеком (оцените круговую логику — неудивительно, что дом, построенный с помощью евклидовой геометрии, успешно можно этой геометрией описать). Но как быть со всем остальным миром, как можно описать форму дерева или очертания острова, форму комка земли или ветвящуюся структуру бронхов?
Этим вопросом ученые задавались давно, но, поскольку не находили убедительного ответа, записывали эти формы в «неупорядоченные», «монструозные», «неисследуемые». Глобальный перелом произошел только в 1960–1970-х годах, когда французский математик Бенуа Мандельброт придумал и развил свою теорию фракталов. Это была новая, фрактальная геометрия, взявшая за объект исследования все то неровное, изломанное и шершавое, что нас окружает (то есть почти все). И Мандельброт нашел в сложных формах природы свой удивительный порядок.
Что Такое Фракталы? Простое Объяснение!
На фото красным отмечены формы, описываемые фрактальной геометрией.
Синим, описываемые эвклидовой геометрией.
То же разделение работает и для пары рукотворный/нерукотворный.
Бенуа Мандельброт (1924–2010)
Французский математик. Основатель фрактальной геометрии. Во время войны уехал из Франции в Америку и остался там. Долгое время был изгоем и не признавался широкими научными кругами, но в конце 1970-х годов обрел признание и славу одного из самых оригинальных математиков.
В 1977 году выпустил книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», в 1982 году вышло переиздание — культовая книга «Фрактальная геометрия природы». В течение 35 лет работал в компании IBM.
Впервые о том, что не стоит записывать в неупорядоченное то, что мы не можем описать евклидовой геометрией, высказался еще Ричард Бентли, британский ученый XVII века:
«Вся красота относительна. Мы не должны думать, что берега океана искажены и деформированы, потому что они не похожи на ровную стену; и мы не должны думать, что горы имеют неправильную форму, потому что они не являются правильными пирамидами или конусами; и мы не должны думать, что звезды неумело расположены на небе, раз они находятся на разном расстоянии от нас. Это не природные неточности — они кажутся такими только по нашему капризу».
Примеры фрактального построения растений
Мандельброт вводит термин «фрактал»
Бенуа Мандельброт, наш главный герой, придумал и впервые употребил термин «фрактал» (от лат. fractus — изломанный) совсем недавно — в 1975 году. Nomen est numen, вспоминает Мандельброт латинское выражение: «назвать — значит понять». С этого момента можно вести отсчет современной фрактальной геометрии.
Приблизительное определение фрактала таково: это самоподобная фигура (часть похожа на целое), чье фрактальное измерение больше топологического.
Что такое фрактальное измерение и чем оно отличается от топологического (это обычное, евклидово измерение, где 0 — точка, 1 — линия, 2 — плоскость, 3 — объемная фигура), мы разберемся позже. Сейчас нам важно только то, что любая часть фрактала похожа на весь фрактал в целом. Так, отдельная ветка на дереве напоминает по строению все дерево, а часть листа папоротника — весь лист.
Похожие объекты многократно всплывали в истории математики, но именно Мандельброт объединил разрозненные события в одну стройную систему — теорию неровностей и шероховатостей. Она описывала некоторый порядок в формах, до того считавшихся неупорядоченными. В форме облака, в строении дерева или очертании береговой линии Мандельброт находит измеряемые параметры — законы упорядоченности в хаосе.
Историческое отступление: любовь
к целым числам
Причина, по которой фрактальная геометрия возникла так поздно, конечно, заключается, среди прочего, в отсутствии до 70-х годов ХХ века нормальных вычислительных мощностей. Также она может быть обусловлена историческим и околорелигиозным наследием евклидовой геометрии.Ключевыми фигурами в геометрии еще со времен Платона, считавшего их строительным материалом этого мира, считались пять фигур: тетраэдр (четыре грани, рис.
1), куб (шесть), октаэдр (восемь), додекаэдр (12, рис. 2) и икосаэдр (20). Другие формы находились вне плоскости изучения геометрии. В лучшем случае они считались тенями — неточными воплощениями идеальных божественных фигур. В худшем — просто отбрасывались как патологические.
В простых пропорциях целых чисел искали отблески небесной гармонии и строители готических соборов, считая, что «музыка сфер» крайне гармонична, так как использует именно простые пропорции. При таком взгляде иррациональные пропорции дерева, например, не обладали божественной гармонией — только ее отблесками.
Это последствия антропоцентричного мышления. Простые музыкальные аккорды, приятные нашему слуху, имеют простые пропорции —> значит, и небеса построены на этих пропорциях, ведь это отражение высшей гармонии, —> значит, и все остальное надо измерять, отталкиваясь от этих пропорций.
К сожалению, эти пропорции отражают разве что устройство человеческого уха и психики. Шум листвы — это не кварта, а песня соловья строится не по нами определенным нотам. Открытие Мандельброта понадобилось, чтобы показать, что в изломанных формах природы есть значительно более сложный и интересный порядок.
Самый близкий его пример — прямо у вас в груди. Сердечный ритм имеет ярко фрактальную структуру. В нас отблеск не божественной простоты и гармонии, которую мы выдумали сами, а изначального хаоса этой вселенной.
Открытие Мандельброта: бесконечные острова
Одно из самых ранних открытий ученого — бесконечная длина береговой линии любого острова. Именно так. Но как же так, спросим мы? Что за глупость? Давайте успокоимся и посмотрим на наши измерительные приборы, говорит нам наш герой:
Оказывается, если наша линейка длиной в 100 м — вокруг острова поместятся 19 штук, и длина его береговой линии будет 1900 м. Если наша линейка длиной в 10 м, она сможет промерить более мелкие впадины и бухты — на береговой линии поместятся 242 штуки, а длина береговой линии составит 2420 м. Если мы возьмем линейку в 1 мм, то сможем промерить каждый камушек — длина береговой линии при таком измерении будет 5423 м — втрое больше первой величины.
Условные измерительные линейки длинной
в 100м, 10м и 1мм.
Какая же длина правильная, спросим мы? «Никакая, длина береговой линии бесконечна», — усмехнется Бенуа. Чем меньше будет наша линейка, тем больше будет длина. При линейке, стремящейся к нулю, длина линии будет бесконечной для любого острова, хоть для Цейлона, хоть для крошечного острова Сипадан.
Мандельброт задался вопросом, как сравнить два острова, если очевидно, что они разные. И ввел новую величину — фрактальную размерность (на самом деле это переосмысленная им размерность Хаусдорфа).
Фрактальная размерность — мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. Размерность у фрактального объекта всегда больше топологической (обычной) размерности и может быть (чаще всего и является) дробной.
Еще один важный сдвиг (для меня — самый важный) происходит в наших представлениях о том, что такое простые вещи, а что такое сложные.
Пример кривой Пеано.
Здесь показан порядок обхода квадратиков 1-6 уровня.
О простом и сложном в природе.
Почему папоротник проще сферы
В нашем повседневном представлении самыми простыми кажутся вещи, наиболее просто описываемые евклидовой геометрией. Стол — это просто. Бетонный куб — еще проще. Стальной шар кажется самой воплощенной простотой (есть даже анекдот про «один сломал, другой потерял», в массовом сознании металлический шар — неделимый предмет).
Но тогда зададимся вопросом, почему большинство простых вещей сделаны человеком? Почему деревья, рыбы, грибы или легкие человека — не правильные сферы или кубы, ведь природа, идеальный оптимизатор, должна была найти максимально простую форму.
На самом деле формы живой природы действительно довольно простые, надо только взглянуть на них совсем с другой стороны — развернуться на 180°.
Чтобы совсем запутаться и забыть о наших привычных представлениях о простом и сложном, давайте рассмотрим самую известную из фрактальных форм — множество Мандельброта. Оно задается крошечной формулой:
Даже капли дождя —
не идеальные сферы. Они даже
не «каплевидной формы» — скорее похожи на пельмени.
Нас снова обманули, как
с кедровыми орехами, которые
на самом деле сосновые семечки.
Но вот в чем подвох: если мы проделаем эту операцию бесконечное количество раз — мы получим бесконечно сложное множество. То есть мы получим объект, части которого можно приближать и приближать, в нем будут все новые и новые формы. В каждой точке этого объекта содержится целый мир причудливых форм, и в каждой точке этих миров те же бесконечности.
Как с этим разобраться? Формула проще некуда (удовлетворяет наше евклидово представление о простоте), а сам объект — бесконечно сложный. Мандельброт предлагает взглянуть на это скорее со стороны алгоритма, чем со стороны конечного объекта (ведь его и нет как такового во фрактале, он бесконечно строится), — описывать не сложность объекта, а сложность процесса построения.
И тут оказывается, что причудливые природные формы крайне просты. Снова возьмем папоротник — он растет из споры, в каждой клетке которой должно быть записано, какой формы должно быть готовое растение.
Представьте себе, какой длинной будет формула, описывающая финальную форму папоротника со всеми его изломами и разветвлениями — со стороны формы папоротник очень сложен.
Но для его построения не обязательно знать, что должно получиться — достаточно знать простой алгоритм ветвления.
И только это простое правило и записать, с двумя маркерами — сейчас включить, сейчас выключить.
Дело даже не в сложности описания. Форму финального растения в принципе нельзя описать — она подвержена вариации, мы никогда не знаем, каким в точности вырастет наш папоротник, подход со стороны алгоритмов — единственно возможный.
Со стороны описания алгоритма построения оказалось возможным изучать, описывать и моделировать (!) формы гор, бронхов, кровеносной системы и излучин рек. Формы, к которым раньше было даже не подступиться, благодаря Мандельброту оказались вполне понимаемыми.
В пример понимания простоты / сложности с точки зрения алгоритмов Мандельброт приводит фрактальную кривую Коха.
Притом что она выглядит сложной, алгоритм ее построения, как пишет Мандельброт, на самом деле проще, чем алгоритм построения окружности. Со стороны алгоритмов (с той стороны, с которой на это дело смотрит природа вокруг нас) эта кривая — более простая форма.
Мне всегда помогает аналогия с кулинарным рецептом. Представьте, что в кулинарной книге перечислено все, что должно быть в супе: 234 кусочка картошки (и размер каждого из них), 134 кусочка лука (и размеры), 23 кусочка мяса. Вот так же нам бы пришлось описывать финальную форму папоротника. Вместо этого мы описываем алгоритм — порежьте, нарубите, покрошите.
И у нас все равно получается суп, пусть и с вариациями — в одной кастрюле 234 куска, в другой — 219 кусков картошки. Высчитывая алгоритм ветвления папоротника, можно получить слегка разные, но все же папоротники.
Тому, как с помощью цепей обратных связей и градиентов концентрации создаются законы развития жизни, посвящена книга прекрасного русского биолога Александра Маркова «Рождение сложности» , которую я настоятельно рекомендую прочесть.
Фракталы — математика и искусство
Фрактал, с математической точки зрения, это, прежде всего, множество с дробной, промежуточной, «не целой» размерностью. Алгебраические фракталы названы так потому, что их генерируют с помощью алгебраических форму, иногда совсем несложных.
Алгебраические фракталы получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. На сегодняшний момент наиболее изученными являются двухмерные процессы. Как известно, нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями.
Каждое устойчивое состояние или аттрактор обладает определенной областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Из этого следует, что фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Таким образом, если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы. Изменение алгоритма выбора цвета, позволяет получать сложные фрактальные узоры с невероятными многоцветными узорами. Самой большой неожиданностью для математиков стало открытие возможности с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
Существует много методов получения алгебраических фракталов. Классическим примером алгебраического фрактала является множество Мандельброта. Алгоритм его построение весьма прост. В его основе лежит простое многократное выражение:
где Zi и C — комплексные переменные. Многократный расчет функции выполняют для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области до тех пор, пока не будет выполнено определенное условие:
- Z[i] стремится к бeсконечности;
- Стремится к нулю.
- Приняв несколько фиксированных значений, не выходит за их пределы.
- Хаотичное поведение.
Множеству Мандельброта принадлежат только те точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (эти точки окрашиваются в черный цвет).
Не менее популярным является метод построение фракталов, основанный на комплексной динамике. В результате образуются биоморфы, фракталы напоминающие живые организмы.
Математика . Большая детская энциклопедия, 2009
Источник: matematikaiskusstvo.ru
Что такое фрактал
Несмотря на то, что фракталы известны человечеству уже почти сотню лет и за это время были хорошо изучены – строгого их определения не существует. Хотя в основе этого явления лежит предельно простая идея: получение сложных геометрических фигур путем всего лишь двух операций – копирования и последующего масштабирования.
Статьи по теме:
- Что такое фрактал
- Как рисовать фракталы
- Как сделать фрактал
Итак, фрактал – это математическое множество, состоящее из подобных этому множеству объектов. Иными словами, если мы рассмотрим под увеличением небольшой фрагмент фрактальной фигуры, то он будет похож на более масштабную часть этой фигуры или даже на фигуру в целом. Для фрактала притом увеличение масштаба не означает упрощение структуры. Поэтому на всех уровнях мы увидим одинаково сложную картину.
Свойства фрактала
Исходя из озвученного выше определения, фрактал обычно представляется в виде геометрической фигуры, удовлетворяющей одному или нескольким из нижеприведенных свойств:
— имеет сложную структуру при любом увеличении;
— приближенно является самоподобной (части похожи на целое);
— имеет дробную размерность, которая больше топологической;
— может быть построена рекурсивным методом.
Фракталы в окружающем мире
Несмотря на то, что понятие «фрактал» кажется предельно абстрактным, в жизни можно столкнуться со множеством реально существующих и даже приносящих практическую пользу примеров данного явления. Более того, примеры из окружающего мира непременно должны быть рассмотрены, ибо дадут лучшее понимание фрактала и его особенностей.
К примеру, антенны для различных устройств, конструкции которых исполнены фрактальным методом, показывают эффективность своей работы на 20% большую, нежели антенны традиционной конструкции. Помимо того, фрактальная антенна может работать с отличной производительностью одновременно на самых разных частотах. Именно поэтому современные мобильные телефоны уже практически не имеют в своей конструкции внешних антенн классического устройства – последние заменены на внутренние фрактальные, которые монтируются прямо на печатной плате телефона.
Большое внимание фракталы получили с развитием информационных технологий. В настоящее время разработаны алгоритмы сжатия различных изображений с помощью фракталов, имеются способы построения объектов компьютерной графики (деревья, горные и морские поверхности) фрактальным способом, а также фрактальная система назначения IP-адресов в некоторых сетях.
В экономике существует способ использования фракталов при анализе котировок акций и валют. Возможно, читатель, торгующий на рынке Forex, видел фрактальный анализ в действии в торговом терминале или даже применял его на практике.
Также помимо искусственно созданных человеком объектов с фрактальными свойствами, в естественной природе также можно немало подобных объектов. Хорошими примерами фрактала являются кораллы, морские раковины, некоторые цветы и растения (брокколи, цветная капуста), кровеносная система и бронхи людей и животных, образующиеся на стекле узоры, природные кристаллы. Эти и многие другие объекты имеют ярко выраженную фрактальную форму.
Источник: www.kakprosto.ru