Как решать задачи на проценты? В этой статье постараюсь подробно разложить подход к решению. Дело в том, что на блоге уже размещены типовые задания. Разобраны почти все варианты (смотрите карту блога).
Но размещённые задания в основном решены с использованием пропорции. Это допустимо, но как бы не совсем правильно. Я бы даже сказал математически некорректно. Хотя способ этот понятен ребятам и через пропорцию задачи с процентами успешно ими решается.
В этой публикации имеется цель разъяснить именно суть, понимание – что такое процент и как можно (и желательно уметь) решать задачи обладая данным пониманием. Не даром в пятом классе, когда вводится понятие процента ни о каких пропорциях и речи нет.
Если взять в целом, то задачи на проценты условно можно разделить на:
Простые – это задачки в одно-два действия, они-то в основном и входят в состав ЕГЭ;
Непростые – уровень чуть выше, но всё решение также базируется на базовой теории и понимании понятия процента;
Сложные – это задачи, в которых нужно хорошо подумать над решением.
Очень сложные – такие задачи без хорошей практики и наработанных навыков не решить, это для математически подкованных ребят.
Здесь будет предоставлена информация, которой вполне достаточно для решения половины задач входящих в состав экзамена. Сложные (и очень сложные) примеры обязательно рассмотрим в будущем. Итак!
САМОЕ ВАЖНОЕ, что нужно понимать:
1% – это одна сотая часть (чего-либо)
*Записывается как 1/100 или 0,01
Неважно от чего конкретно – это может быть число, тонны металла, площадь участка, объём цистерны, расстояние между объектами. Важно понимать, что это сотая часть (доля). И если речь заходит об одном проценте, то мы понимаем, что ему соответствует она сотая часть. Например, 1% от 3500 кг картофеля это 35 кг (разделили на 100).
Понятно, что 2% – это две сотых (записывается как 0,02).
Значит 42% – это сорок две сотых и так далее.
Например, 10% это 10/100 (или 0,1) от какой-либо величины. Ещё:
Например, если выразить в долевом отношении 25% от килограмма конфет, то это будет одна четверть от килограмма. Части (доли), как вы уже поняли, могут быть представлены не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной, например: 0,25; 0,6; 0,05; 0,56.
Условно задачи на проценты классифицируются (разделяются на типы).
Но учить и тем более зубрить принцип решения указанных ниже «моделей» задач НЕ НУЖНО. Понимания и простой логики вполне достаточно чтобы решать их.
*Выше было сказано, что в роли «чего-либо» может быть всё что угодно: тонны, площадь, объём, длина и так далее. Дело в том, что всё это всё-равно выражается числом, поэтому ниже речь будет идти о числе.
Разберём конкретные примеры.
1. Известно число. Необходимо найти неизвестное число соответствующее определённому (данному) проценту.
Пример: На склад завезли 12000 кг картофеля, на следующий день было вывезено для продажи 15%. Сколько кг картофеля было вывезено?
2. Известно число и сказано какому проценту от исходного оно соответствует. Необходимо найти это исходное число (соответствующее 100%).
Пример: В понедельник велосипедист проехал 50 километров и это составило 20% от всего запланированного расстояния. Сколько километров составляет весь путь, которые он хочет проехать?
3. Известно число. Дано другое число и стоит вопрос об определении процента, которому оно соответствует относительно первого числа.
Пример: Рабочий за смену сделал 150 деталей. Другой рабочий сделал 120 деталей. Какой процент работы выполнил второй рабочий относительно первого?
4. Есть ещё задания, где ставится вопрос вычислении «процента от процента», но они являются скорее следствием из вышеуказанных типов.
Данные типы «модели» и лежат в основе всех простых задачек на проценты. Конечно, к ним могут быть добавлены различные условия, но в любом случае вычисления крайне просты. Например, в третьей задаче вопрос можно поставить таким образом: на сколько процентов меньше выполнено работы вторым рабочим?
Вот как решаются некоторые задачи ЕГЭ (без пропорции).
26669. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Обратите внимание, что 3480 рублей это цена после повышения на 16%. То есть 3480 рублей соответствует 116%. Нам необходимо определить цену до повышения, то есть соответствующую 100%.
Сколько рублей будет соответствовать 1 проценту? Определить не трудно:
Теперь для того, чтобы узнать сколько рублей соответствует 100%, 30 умножаем на 100 и получаем 3000 рублей.
26630. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?
Одному проценту соответствует 800_100=8 рублей.
Тогда 680-ти рублям соответствует 680_8=85 процентов.
Цена была снижена на 100–85=15 процентов.
26643. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?
Одному проценту соответствует 12500_100=125 рублей.
Тогда тринадцати процентам соответствует 125∙13=1625 рублей.
Иван Кузьмич после вычета получит 12500–1625=10875 рублей.
26644. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
Обратите внимание, что 9570 рублей это зарплата после удержания 13%. Значит 9570 это 87% от всей зарплаты. Вся зарплата это 100%.
Одному проценту будет соответствовать 9570_87=110 рублей.
Значит 100 процентам соответствует 110∙100=11000 рублей
У этой статьи обязательно будет продолжение, так как сказано и показано ещё далеко не всё, изложено только самое начало, базовое понимание. Так что возвращайтесь на блог.
Учитесь с удовольствием.
С уважением, Александр Крутицких.
Источник: matematikalegko.ru
Примеры решений задач по финансовой математике
В этом разделе вы найдете примеры решенных задач по финансовой математике (финансовым вычислениям) на основные темы, решаемые студентами: начисление процентов (простой, сложный, непрерывный), учетная ставка, инфляция, ренты и потоки платежей, эквивалентные процентные ставки, денежный поток и т.п.
- Онлайн решения
- Проценты и начисления
- Кредиты, ссуды, ренты
- Финансовый поток
- Полезные ссылки
- Пособия и практикумы
Если вам нужна помощь с подобными заданиями, обращайтесь. Выполним ответственно, недорого, подробно, от 100 рублей за задачу, сроки от 1 дня, гарантия месяц.
Узнайте, сколько стоит сделать финансовые вычисления:
Основы финансовых вычислений онлайн
Задача 1. Вексель на сумму 10 000 рублей с погашением 30 ноября предъявлен в банк для оплаты 20 сентября по учётной ставке 20% годовых. Определить сумму, выплаченную владельцу векселя и сумму дисконта при германской практике расчётов.
Задача 2. На сколько изменится срок удвоения вклада, если от простых процентов i = 18% перейти к начислению сложных процентов?
Задача 3. Определить современную стоимость годовой ренты при начислении процентов ежеквартально, если номинальная ставка 18%, размер отдельного платежа 10 000 рублей, длительность ренты 3 года.
Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу
Примеры решений: проценты и начисления
Задача 5. Вклад в размере 300 р. помещен в банк 6 февраля и востребован 20 декабря. Ставка 80% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различных методах определения срока начисления.
Задача 9. Компания получила кредит на три года в размере 234000 руб. с условием возврата 456000 руб. Определить процентную ставку для случаев простого и сложного процента.
Задача 10. Номинальная учетная ставка равна 10%. При этом проценты начисляются ежеквартально. Найти эффективную учетную ставку.
Задача 11. 1. Темп инфляции $alpha$ за период $t = t_1 + t_2$ равен 0,37. Темп инфляции за второй период на 55% выше, чем за первый. Найти темп инфляции за каждый период.
2. Найти сложную процентную ставку, эквивалентную непрерывной ставке 8% $i_c$.
Задача 12. На счет в банке помещено 160000 рублей. За первые 5 лет и 6 месяцев процентная ставка равнялась 10%, а в следующие 7 лет и 4 месяца – 8%, капитализация полугодовая. Чему будет равна наращенная величина вклада через 12 лет 10 месяцев.
Помогаем с решением задач по финансовой математике
Примеры решений: кредиты, ссуды, ренты
Задача 4. Рассчитать размер ежегодной выплаты для погашения ссуды размером 220000 р., взятую на 7 лет под 9% годовых, а также основные платежи, плату по процентам и остаток долга после очередной выплаты.
Задача 6. Оцените ренту пренумерандо с ежегодными платежами в конце каждого года в сумме 150 тыс. руб., сложные проценты по учетной ставке 15% годовых, срок ренты — 10 лет. Сравните полученные результаты с оценкой ренты, на платежи которой начисляются сложные ссудные проценты по ставке 15% годовых.
Задача 8. Ссуда 150000 руб. выдана на 4 года под 20% годовых (простые проценты). Во сколько раз увеличится наращенная сумма?
Примеры решений: финансовый поток
Задача 7. Вы имеете на счете 40 000 долл. и прогнозируете свой доход в течение следующих 2 лет в сумме 60 000 долл. и 70 000 долл. соответственно. Ожидаемая процентная ставка в эти годы будет 8 и 14%. Ваши минимальные расходы составят: в текущем году — 20 000 долл.; в следующие годы ожидается их прирост с темпом 10% в год. Рассчитайте потенциально доступную сумму к потреблению в каждом из следующих 2-х лет.
Задача 13. Приведите поток $CF = <(0, 600), (1, 250), (2, 350), (3, 600)>$ к моменту времени $t = 2$ при ставке 8%.
Задача 14. Дайте определение внутренней нормы доходности потока и найдите ее для потока $СF= <(0, –2500), (1,2000), (2, 3500)>$.
Может быть интересно:
Пособия и практикумы
- Практикум по финансовой математике — теория, примеры решений задач и задачи для самостоятельной работы.
- Четыркин Е.М., Финансовая математика Популярный учебник по предмету
- Финансовая математика. Пособие с типовыми задачами и формулами, для начального уровня изучения.
Источник: www.matburo.ru
Как решать задачи на сложные проценты
В курсе 7-11 класса практически отсутствуют задачи на проценты. Так как эти задачи можно решать с помощью уравнений и систем уравнений, то их необходимо включать в курс алгебры при изучении данных тем.
Задача 1. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к линейному)
В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда
0.4x г – соли в первоначальном растворе,
(x + 120) г – стало раствора,
(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т.е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:
0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим
Задача 2. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к квадратному)
В сплаве золота с серебром содержится 80 г золота. К сплаву добавили 100 г чистого золота. Содержание золота в сплаве повысилось на 20%. Сколько серебра было в сплаве?
Пусть x г – серебра в сплаве, тогда
(x + 80) г – масса первоначального сплава,
(x + 180) г – масса нового сплава,
80/(x+80) г – часть золота в первом сплаве,
180/(x+180) г – часть золота во втором сплаве,
решая которое получим
x- 240x + 14400 = 0
Задача 3. (решаемая с помощью системы уравнений)
Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получим сплав 840-й пробы.
Пусть x кг – масса сплава, y% — серебра в сплаве, тогда
(y : 100) · x = 0,01xy (кг) – серебра в сплаве,
(x + 3) кг – нового первого сплава,
(0,01xy + 3) кг – серебра в новом первом сплаве.
Т.к. серебра в новом первом сплаве 90%, составляем уравнение:
0,01xy + 3 = 0,9(x + 3).
(x + 2) кг – масса второго сплава,
2 кг сплава 900-й пробы будут содержать 0,9 · 2 = 1,8 (кг) серебра, тогда
(0,01xy + 1,8) кг – масса серебра во втором сплаве.
Т.к. серебра во втором сплаве 84%, составляем уравнение:
0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2).
Получаем систему уравнений:
0,01xy + 3 = 0,9(x + 3) x = 3
0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2) y = 80
Ответ: 3 кг 800-ой пробы
Задача 4. (решаемая с помощью системы уравнений)
Фабрика должна была сшить 360 костюмов. В первые 8 дней она перевыполняла план на 20%, а в остальные на 25%. Сколько дней работала фабрика, если всего сшито 442 костюма?
Пусть x костюмов должна была сшить фабрика за один день,
y дней должна была работать.
Т.к. всего должно было быть сшито 360 костюмов, составляем уравнение:
1,2x · 8 костюмов сшили за первые 8 дней,
1,25x(y — 8) костюмов сшили за остальные дни.
Т.к. всего сшито 442 костюма, составляем уравнение:
1,2x · 8 + 1,25x(y — 8) = 442.
Получаем систему уравнений:
1,2x · 8 + 1,25x(y — 8) = 442 y = 18
Задача 5. (решаемая с помощью алгебраических выражений)
На сколько процентов в результате уменьшается их количество?
Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:
На 1-ом этапе – 0,75x
На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x
На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x
На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.
Таким образом всего ушло x — 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.
Задача 6. (решаемая комбинированным способом)
В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Пусть x – месячный план, тогда
1,05x – выпущено в январе,
1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено
1,05x + 1,092x = 2,142x.
Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.
y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.
Задача 7. (решаемая логическими рассуждениями)
В одном из городов Украины часть жителей говорит только по-русски, часть только по-украински, часть говорит и по-русски и по-украински. Известно, что 90% жителей говорит по-русски, а 80% по-украински. Какой процент жителей этого города говорит на обоих языках?
На каждых 100 жителей – 90 говорит по-русски, значит, 10 не говорит по-русски, т.е. 10 говорит только по-украински. Известно, что из каждых 100 жителей говорит по-украински 80 человек, из них, как мы выяснили, 10 человек говорит только по-украински, следовательно из этих 80 знают еще и русский 80 – 10 = 70 человек, т.е. 70%
Источник: www.seznaika.ru