Закон больших чисел утверждает что тест

Закон больших чисел и его следствия
Закон больших чисел и его следствия
Закон больших чисел в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов.

Основные данные о работе

Закон больших чисел и его следствия

Основная часть

Закон больших чисел и его следствия

Закон больших чисел и его следствия

Закон больших чисел в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов.

1. Закон больших чисел в трудах ученых

Закон больших чисел не образует закономерность, а лишь управляет её проявлением. На интуитивном признании закон больших чисел уже основывались в своих демографических и статистических исследованиях Дж. Граунт (1662), У. Петти, Э. Галлей (1693),И. Зюсмильх (1741), А. Кетле.

Надёжный тест простоты чисел [Numberphile]

В 19 в.толкование экономических явлений, как массовых с сопутствующим действием закона больших чисел, приобретает всё большее распространение. В трудах К. Маркса, особенно в «Капитале», все категории экономической действительности и экономической науки выступают как средние величины (среднее общественно необходимое рабочее время, простой средний труд, средний в данном обществе уровень умелости и интенсивности труда, средняя скорость обращения денег, средняя норма прибыли и т.д.). Равным образом лишь как средние уровни, лишь в среднем могут проявляться, по концепции Маркса, любые экономические законы и закономерности (при капитализме действующие «слепо», стихийно).

Вместе с тем Маркс и Энгельс неоднократно писали о специфической форме проявления экономических законов и закономерностей: «Совокупное движение этого беспорядка есть его порядок» (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф.; речь идёт о движении цен); «… Общие законы осуществляются,… лишь как господствующая тенденция, как некоторая никогда твердо не устанавливающаяся средняя постоянных колебаний», «… внутренний закон, прокладывающий себе дорогу через эти случайности и регулирующий их, становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших массах, и… он остается поэтому невидимым и непонятным для самих отдельных агентов производства»; об «экономических законах вообще»Энгельс писал: «… все они не имеют иной реальности, кроме как в приближении, в тенденции, в среднем, но не в непосредственной действительности».

Отклонения множества цен от стоимости Маркс трактует как форму проявления закона стоимости: «… возможность отклонения цены от величины стоимости заключена уже в самой форме цены. И это не является недостатком этой формы, — наоборот, именно эта отличительная черта делает ее адекватной формой такого способа производства, при котором правило может прокладывать себе путь сквозь беспорядочный хаос только как слепо действующий закон средних чисел».

Закон больших чисел — как работает случайность? // Vital Math

Позднее В.И. Ленин писал о том же в несколько иных выражениях: «… вполне естественно, что в обществе разрозненных товаропроизводителей, связанных лишь рынком, закономерность не может проявляться иначе как в средней, общественной, массовой закономерности при взаимопогашении индивидуальных уклонений в ту или другую сторону». Не возникает сомнений, что и Маркс, и Ленин говорят здесь о законе больших чисел., однако Маркс называет его иным термином: Durchschnittsgesetz,т. е. «законом осреднения», «осредняющим законом», «законом средних чисел»;причину этого надо видеть в том, что факт проявления любого закона в виде средней величины Маркс считал существеннее факта его проявления лишь на большом числе случаев. Отсюда — установившееся в современной статистической науке отождествление понятий и терминов «Закон больших чисел» и «закон средних чисел», часто «закон больших (средних) чисел».

2. Понятия закона больших чисел

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — принцип, по которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов.…

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее(среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения.

УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ в наиболее простой форме гласит, что количественные закономерности массовых явлений отчетливо проявляются лишь в достаточно большом их числе.

Таким образом, сущность его заключается в том, что в числах, получающихся в результате массового наблюдения, выступают определенные правильности, которые не могут быть обнаружены в небольшом числе фактов.

Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого. В результате взаимопогашения случайных отклонений средние величины, исчисленные для величины одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действия постоянных и существенных фактов в данных условиях места и времени.

Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для каждого отдельного случая.

Принцип математической статистики, согласно которому совместное действие набора случайных факторов может привести к неслучайному (детерминированному) результату. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний.

Простейший пример – опыт с бросанием монеты. Теоретически выпадение орла или решки равновероятно. Это значит, что если подбросить монету 10 раз, то 5 раз должен выпасть орел и 5 раз – решка. Однако обще известно что вероятность этого очень мала. С тем же успехом может выпасть 9 к 1, 3 к 5 и т.д.

Тем не менее, если увеличить число опытов, скажем, до 100, то вероятность выпадения орла или решки приблизится к 50%. В пределе, если устремить число опытов к бесконечности, то вероятность выпадения орла и решки будет асимптотически стремиться к 50%.

То, какой стороной упадет монета, зависит от множества случайных факторов: как она будет лежать на ладони у экспериментатора, силы броска, высоты падения, скорости и т.д. Тем не менее при достаточно большом числе опытов независимо от действия этих факторов мы всегда можем утверждать, что эмпирическая (опытная) вероятность будет близка к теоретической.

Например, пусть требуется оценить доходы населения в некотором регионе. Если мы рассмотрим 10 наблюдений, в которых у 9 респондентов доходы были около 20 000,а у одного – 500 000, то расчет простого среднего покажет доход на уровне 68000, что, вообще говоря, не отражает реальную картину. Если же мы рассмотрим100 наблюдений, из которых 99 покажут доход 20 000 и только один – 500 000, то среднее составит около 28 000, что более адекватно отражает реальную ситуацию. При увеличении числа наблюдений, среднее будет стремиться к своему истинному значению.

Именно закон больших чисел при анализе данных требует, что называется, «набрать статистику», т. е. использовать как можно большее число наблюдений, для получения достоверных результатов.

3. Закон больших чисел

Закон больших чисел в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов.

В качественно однородных совокупностях, состоящих из случайных единичных явлений, закономерности проявляются (и, следовательно, могут изучаться) лишь на достаточно большом числе единиц (случаев); эти закономерности могут быть количественно выражены только в форме средних чисел (например, средних уровней, средних долей признака или групп в совокупности, различных коэффициентов и других обобщающих характеристик); средние числа выражают их тем точнее, чем большее число единиц явления ими охватывается; отклонения этих отдельных единиц в ту и другую сторону от характеристики общей закономерности всего явления, вызываемые случайными причинами, при достаточно большом числе единиц почти взаимопогашаются. В любом массовом явлении наряду с факторами, общими для всей массы единиц, действуют факторы случайные, т. е. такие, которые в индивидуальных единицах могут быть различны, и их действие может быть направлено в разные стороны — поскольку между этими единицами имеется известная степень взаимной независимости. В результате взаимопогашения действия случайных факторов проявляется действие факторов, общих явлению, т. е. проявляется необходимость, закономерность всего массового явления.

Закон больших чисел не имеет отношения ко второй группе факторов (причин),следовательно, к сущности массового явления. Он не создаёт ни самих, проявляющихся в среднем, закономерностей, ни их общей средней меры для массы единиц явления (например, уровня стоимости или производительности труда, средней нормы прибыли, вероятности заболевания и т.д.); следовательно, закон больших чисел не в состоянии ни изменить средний уровень явления, ни вызвать устойчивость динамического ряда уровней, ни предопределить размеры отклонений от среднего уровня, ни, тем более, служить объяснению реальных причин возникновения самого уровня или отклонений от него. Отсюда ясна полная несостоятельность антинаучных попыток некоторых буржуазных учёных, приписать закон больших чисел чудодейственную, почти мистическую способность творить закономерность из хаоса любых случайностей, даже если в них внутренняя необходимость. Внутренняя закономерность и не заложена, — лишь бы было «большое число» единиц, которое якобы само по себе, независимо от сущности массового явления, приводит к возникновению закономерности в нём.

Необходимо строго различать взаимопогашение случайных отклонений отдельных единиц от среднего уровня всего массового явления при действии закон больших чисел чисто алгебраическое уравновешивание суммы положительных и суммы отрицательных отклонений при вычислении любой арифметической средней.

Эти последние уравновешиваются в силу самого правила вычисления средней и притом полностью, как в случае типической средней для однородной совокупности (когда индивидуальные отклонения действительно случайны), так и при чисто фиктивной, «огульной»средней для явно разнородной совокупности (когда в индивидуальных отклонениях переплетены и существенные и случайные элементы), и притом при любом числе индивидуальных значений, объединяемых арифметической средней.

Действие же закона больших чисел состоит во взаимопогашении случайных отклонений от уровня, соответствующего закономерности массового явления и лишь приближённо отражаемого средней величиной, а потому такое взаимопогашение не может быть полным, и оно зависит от численности входящих в массу единичных явлений.

Значение факта действия закона больших чисел велико для любой современной науки, в частности и в особенности — для научной разработки теории статистики и методов статистического познания. Действие закона больших чисел имеет всеобщее значение для самих объектов статистического изучения — статистических совокупностей с их сводными признаками и массовыми закономерностями. На планомерном использовании действия закона больших чисел при случайном отборе единиц массовой совокупности для образования выборки основан важный статистический метод выборочного наблюдения.

В данной контрольной работе я попыталась раскрыть тему «закона больших чисел». Тенденции закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для каждого отдельного случая.

Принцип математической статистики, согласно которому совместное действие набора случайных факторов может привести к неслучайному (детерминированному) результату. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний.

Простейший пример – опыт с бросанием монеты. Теоретически выпадение орла или решки равновероятно. То, какой стороной упадет монета, зависит от множества случайных факторов: как она будет лежать на ладони у экспериментатора, силы броска, высоты падения, скорости и т. д. Тем не менее при достаточно большом числе опытов независимо от действия этих факторов мы всегда можем утверждать, что эмпирическая (опытная) вероятность будет близка к теоретической.

Таким образом, можно сказать, что математическая статистика-это не просто наука, а мы живем и сталкиваемся с ней каждый день.

Источник: www.myunivercity.ru

Закон больших чисел

Закон больших чисел

Предмет теории вероятностей, как мы знаем, составляют закономерности, свойственные массовым случайным событиям. Простейшая из них — устойчивость частоты — лежит в основе всех приложений теории вероятностей к практике. Если попытаться в немногих словах отразить общий смысл подобных закономерностей, то придем к такому заключению. Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным.

Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным. Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

В основе доказательства этих теорем лежит важное неравенство, установленное в 1845 г. П.Л. Чебышевым.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Неравенство Чебышева

Пусть Закон больших чиселслучайная величина с математическим ожиданием Закон больших чиселВыберем какое-либо положительное число Закон больших чисели рассмотрим событие

Закон больших чисел

Геометрический смысл этого события заключается в том, что значение случайной величины Закон больших чиселпопадает в область на числовой оси, получающуюся удалением из всей оси интервала от Закон больших чиселдо Закон больших чисел(см. рис. 10.1). С возрастанием Закон больших чиселэта область сужается, следовательно, вероятность попадания в нее (т.е. вероятность события (10.1)) становится все меньше. Неравенство Чебышева замечательно тем, что устанавливает для этой вероятности весьма простую оценку.

Неравенство Чебышева. Пусть имеется случайная величина Закон больших чиселс математическим ожиданием Закон больших чисели дисперсией Закон больших чиселКаково бы ни было положительное число Закон больших чиселвероятность того, что величина Закон больших чиселотклонится от своего математического ожидания не меньше чем на Закон больших чиселограничена сверху числом Закон больших чисел

Закон больших чисел

Доказательство. Неравенство (10.2) является следствием другого неравенства, также принадлежащего Чебышеву: если случайная величина Закон больших чиселможет принимать только неотрицательные значения Закон больших чиселто вероятность того, что принятое ею значение окажется не меньше единицы, не превосходит числа Закон больших чиселматематического ожидания Закон больших чисел

Закон больших чисел

Докажем сначала неравенство (10.3).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть Закон больших чиселдискретная случайная величина, принимающая неотрицательные значения Закон больших чиселс вероятностями Закон больших чиселсоответственно. Имеем:

Закон больших чисел

Если каждое слагаемое Закон больших чиселсуммы, стоящей справа, умножить на соответствующее значение Закон больших чиселто правая часть не уменьшится, поскольку Закон больших чиселМы придем тогда к неравенству

Закон больших чисел

Выражение, стоящее справа, опять-таки не уменьшится, если распространить суммирование на все возможные значения Закон больших чиселдействительно, при этом добавятся неотрицательные слагаемые Закон больших чиселотвечающие таким номерам Закон больших чиселдля которых Закон больших чиселИтак,

Закон больших чисел

Но последняя сумма по определению совпадает с Закон больших чиселТем самым неравенство (10.3) доказано для случая дискретной величины Закон больших чисел

Пусть теперь Закон больших чиселкакая угодно случайная величина, удовлетворяющая, однако, условию Закон больших чисели имеющая математическое ожидание Закон больших чиселВзяв какое-либо Закон больших чиселрассмотрим случайную величину Закон больших чиселприближение к Закон больших чисел(см. § 5.3, п. 1°). По доказанному Закон больших чиселПолученное неравенство имеет место для любого Закон больших чиселв частности

для Закон больших чиселгде Закон больших чиселкакое угодно натуральное число. Поскольку в этом случае Закон больших чисел(объясните!), то при любом натуральном Закон больших чиселимеем: Закон больших чиселПри Закон больших чиселправая часть этого неравенства стремится к пределу, равному Закон больших чиселОтсюда и следует (10.3).

Закон больших чисел

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Загрузка ...
Заработок в интернете или как начать работать дома